Uma força aplicada em um objeto tende a a faze-lo girar em torno de um eixo fora da linha de ação da força. A tendência deste objeto girar é chamada de momento e este eixo é denominado eixo de momento.
Por exemplo, considere uma força $F$ sendo aplicada em uma garrafa num ponto $A,$ como mostra a figura, então esta garrafa tende a girar em torno do eixo de momento que passa por um ponto $B$ perpendicular ao
plano de ação da força e o vetor $\overrightarrow{BA}.$ O vetor $\overrightarrow{BA}$ é chamado braço de momento. O momento é uma grandeza vetorial que dá a direção do eixo de momento. Assim, para determinarmos a
direção do momento de uma força precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a força e ao braço de momento simultaneamente. Para resolvermos este tipo de problema precisamos recorrer ao cálculo de produto vetorial entre dois vetores em
$\mathbb R^3$ que o assunto desta aula.
Considere dois vetores $u=(x_1,y_1,z_1)$ e $v=(x_2,y_2,z_2) \in \mathbb R^3.$ O produto vetorial de $u$ por $v$, denotado por $u\times v,$ é um vetor $w$ perpendicular a $u$ e $v$, simultaneamente, que é o vetor
$$u\times v=(y_1z_2-y_2z_1, x_2z_1-x_1z_2, x_1y_2-x_2y_1). \qquad(*) $$
Já o produto vetorial de $v$ por $u$ é, também, um vetor perpendicular a $u$ e $v$, simultaneamente, que é o vetor
$$v\times u=(y_2z_1-y_1z_2, x_1z_2-x_2z_1, x_2y_1-x_1y_2)\qquad(**)$$
Observe que os vetores $u\times v$ e $v\times u$ tem sentidos opostos, isto é, $$u\times v=-v\times u.$$
Exemplo: Considere os vetores $u=(1,-2,0)$ e $v=(-3,1,-2).$ O produto vetorial de $u$ por $v$ é o vetor
$$u\times v=(4,2,-5),$$ e produto vetorial de$v$ por $u$ é o vetor $$v\times u=(-4,-2,5).$$ Ao calcular o produto escalar do vetor $u\times v$ com o vetores $u$ e $v$ o resultado será igual a zero. O mesmo será para $v\times u$. Verifique!
Método prático para cálculo do produto vetorial
As coordenadas do produto vetorial de $u=(x_1,y_1,z_1)$ por $v=(x_2,y_2,z_2)$ podem ser calculadas utilizando a matriz
$$
M=\left[
\begin{array}{ccc}
i&j&k\\
x_1&y_1&z_1\\
x_2&y_2&z_2
\end{array}
\right]
$$
e por meio de seu determinante dado por
$$det (M)=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k.$$
Os coeficientes que multiplicam $i, j, k$ serão, respectivamente, a primeira, segunda e terceira coordenada de $u\times v$. Desta maneira, obtemos o vetor $$u\times v=(y_1z_2-y_2z_1, x_2z_1-x_1z_2, x_1y_2-x_2y_1)$$ que é o mesmo da expressão $(*)$. Para obter o vetor $v\times u$ basta permutar as linhas 2 e 3 da matriz $M$ e fazer o mesmo processo.
Exemplo: Dados os vetores $u=(2,-2,2),$ $v=(-5,0,2)$ e calculando o determinante
$$
\left|
\begin{array}{rrr}
i&j&k\\
2&-2&2\\
-5&0&2
\end{array}
\right|=-4i-14j-10k,
$$
temos que $$u\times v=(-4,-14,-10).$$
Ao permutarmos as linhas 2 e 3 o determinante muda de sinal e, consequentemente, teremos
$$v\times u=(4,14,10).$$
Exemplo: [Momento de uma força] Uma estrutura tubular está sujeita a uma força de 80 N como mostra a figura abaixo. Determine a direção do eixo de momento dessa força em relação ao ponto $C$.
O eixo de momento é perpendicular ao plano que contém a força e o braço de momento. O braço de momento é o vetor $\vec{r}$ com origem no ponto $A$ e extremidade em $C$. No sistema SI suas coordenadas são dadas por
$$\vec{r}=(0.55,0.4,-0.2).$$
As coordenadas da força $\vec{F}$ são dadas por $\vec{F}=(40\sqrt{3}\sin 40º,40\sqrt{3}\cos 40º,-40).$ Considerando $\sin40º=0.64$ e $\cos40º=0.76$ temos $$\vec{F}=(44.34, 52.65,-40).$$
O momento da força $\vec{F}$ em relação ao ponto $C$ é o vetor $\vec{r}\times \vec{F},$e suas componentes são calculados a partir do determinante
$$\left|\begin{array}{ccc}
i&j&k\\
0.55&0.4&-0.2\\
44.34&52.65&-40\\
\end{array}\right|$$
$$=-5.47i+13.132j+11.2215k,$$ e obtemos, portanto, $$\vec{r}\times\vec{F}=(-5.47, 13.132, 11.2215)$$
A intensidade do momento é dada por $\Vert\vec{r}\times\vec{F}\Vert=18.12$ N$\cdot$ m.
Exemplo: Determine a intensidade do momento da força $\vec{F}$ em relação ao ponto $A,$ onde $\theta=30º.$
Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com a origem no ponto $A$ temos que o braço de momento é $$\vec{r}=(-3,2,0).$$
As componentes da força $\vec{F}$ são dadas por
$$\vec{F}=(-400\cos30º,-400\sin30º, 0)=(-200\sqrt{3},-200,0).$$
Calculando as componentes do momento $\vec{r}\times \vec{F}$ através do determinante
$$\left|\begin{array}{ccc}
i&j&k\\
-3&2&0\\
-200\sqrt{3}&-200&0\\
\end{array}\right|=(600+400\sqrt{3})k,$$
obtemos, portanto,
$$\vec{r}\times \vec{F}=(0,0,600+400\sqrt{3})$$
A intensidade do momento é $\Vert\vec{r}\times \vec{F}\Vert=1292,8$ N$\cdot$m.
Propriedades
É importane observar algumas propriedades do produto vetorial. Dado os vetores $u, v, w\in\mathbb R^3$ e $t\in\mathbb R$ então:
$(u + v)\times w=u\times w + v\times w$ e $w \times (u+v)=w\times u+ w\times v$
$(t u)\times v= u\times(tv)=t(u\times v)$
A propriedade associativa no produto vetorial não é válida, isto é, $$(u\times v)\times w\neq u\times(v\times w).$$ Dê um exemplo para mostrar que a associatividade não é válida.
Área do Paralelogramo em $\mathbb R^3$
Na aula anterior vimos que a área do paralelogramo determinado pelos vetores $u$ e $v$ em $\mathbb R^n$ é calculada por meio da expressão $$A^2=\Vert u\Vert^2\Vert v\Vert^2-(u\cdot v)^2.$$ No caso do espaço euclidiano $\mathbb R^3$ esta fórmula pode ser simplificada e podemos provar que a área do paralelolgramo é $$A=\Vert u\times v\Vert \qquad (1).$$
A fórmula acima só é válida no espaço euclidiano $\mathbb R^3.$
Exemplo: Dados $u=(2,3,3)$ e $v=(-1,0,-2)$, então a área do paralelogramo determinado por $u$ e $v$ é o módulo do vetor $u\times v.$
Temos
$$\left|\begin{array}{rrr}
i&j&k\\
2&3&3\\
-1&0&-2\\
\end{array}\right|=-6i+1j+3k,$$ e, portanto, $$u\times v=(-6,1,3).$$ A área do paralelogramo é $A=\sqrt{46}.$
Volume do Paralelepípedo
Exemplo: Os vetores $u, v$ e $w$ em $\mathbb R^3$ determinam um paralelepípedo como mostra a figura.
O volume do paralelepípedo é o produto da área da base pela sua altura. Considerando a base como sendo o paralelogramo determinado pelos vetores $u$ e $v$, então sua área é dada por $\Vert u\times v\Vert$ como na expressão (1). A altura $h$ é um segmento paralelo ao vetor $u\times v$ e é traçada, perpendicularmente, a partir da extremidade do vetor $w$ até à base.
Temos, então, que $$h=\Vert w\Vert |\cos\theta|.$$ Por outro lado, como $\theta$ é o ângulo entres os vetores $u\times v$ e $w$ temos, também, que $$\cos\theta=\frac{(u\times v \cdot w)}{\Vert u\times v\Vert\Vert w\Vert}.$$ Portanto, a altura é dado por $$h=\frac{|(u\times v\cdot w)|}{\Vert u\times v\Vert},$$ e, consequentemente, o volume do paralelepípedo pode ser calculado pela fórmula $$V=|(u\times v \cdot w)|.$$
A fórmula do volume do paralelepípedo o número $u\times v\cdot w$ é chamado de produto misto. Observe que no produto misto deve ser calculado o produto vetorial primeiro e depois o produto escalar.
Exemplo: Para calcular o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $u=(2,1,1)$, $v=(0,1,0)$ e $w=(-1,-1,-1)$ temos que o produto vetorial de $u$ por $v$ é o vetor calculado a partir de $$\left|\begin{array}{rrr}
i&j&k\\
2&1&1\\
0&1&0\\
\end{array}\right|=-i+2k,$$ então $u\times v=(-1,0,2)$. O produto escalar do vetor $u\times v$ com o vetor $w$ é igual à -1. Como o volume o valor absoluto do produto misto, então o volume é igual a 1 unidade de volume.
O produto misto tem algumas propriedades que devem ser compreendidas e, além disso, existe uma maneira mais prática de fazer o cálculo. Isto será o assunto de nossa próxima aula.
Exercícios
Calcule o produto vetorial entre $u=(1,-2,0)$ e $v=(2,1,-1).$
Sejam $t=(1,1,0),u=(-1,1,1),v=(2,0,3)$ e $w=(-2,1,-1).$ Calcule $(t\times u)\cdot (v\times w).$
Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores $a=(0,1,2),b=(-2,0,-1)$ e $c=(1,1,0).$
Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $u=(1,2,3),v=(3,2,0)$ e $w=(0,0,4).$
A força magnética exercida sobre uma carga $Q$ em movimento é proporcional a quantidade de carga e ao produto vetorial entre a velocidade $\vec{v}$ e a densidade do fluxo magnético $B.$ A força magnética é dada por
$$\vec{F}=Q\vec{v}\times\vec{B}$$
Supondo que a velocidade de uma carga $Q$ é $\vec{v}=(2,3,1)$ e o campo magnético é $\vec{B}=(0,0,2)$ calcule a força magnética exercida sobre essa carga. Esboce um gráfico mostrando a direção da força magnética em relação ao campo magnético e a velocidade da carga.
Uma força $F$ aplicada em um objeto tende a fazê-lo girar em torno de um eixo fora da linha de ação da força. A tendência deste objeto girar é chamada de momento ou torque. O eixo de momento é perpendicular a linha de ação da força e a o braço do momento $r$ que é a distância do ponto de aplicação da força ao ponto pivô.
Para encontrar o eixo de rotação utilizamos
$$\vec{\tau} =\vec{r} \times \vec{F}$$
$$\tau =r\cdot F\cdot \sin \theta $$
Considere uma força $F=(1,2,3)$ sendo aplicada no ponto $A=(5,3,3)$ fazendo com que o objeto gire em torno do ponto pivô $P=(-1,-1,2).$ Determine a direção do eixo de rotação.
Um plano no espaço Euclidiano $\mathbb R^3$ é um conjunto de pontos $P=(x,y,z)$ tais que $$ax+by+cz=d.$$
Essa expressão é chamada de equação do plano. Considere um plano dado por
$x-2y+3z=4.$
Encontre um vetor unitário perpendicular ao plano.
Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com a origem no ponto $A$ temos que o braço de momento é $$\vec{r}=(-3,2,0).$$
As componentes da força $\vec{F}$ são dadas por
$$\vec{F}=(-400\cos30º,-400\sin30º, 0)=(-200\sqrt{3},-200,0).$$
Calculando as componentes do momento $\vec{r}\times \vec{F}$ através do determinante
$$\left|\begin{array}{ccc}
i&j&k\\
-3&2&0\\
-200\sqrt{3}&-200&0\\
\end{array}\right|=(600+400\sqrt{3})k,$$
obtemos, portanto,
$$\vec{r}\times \vec{F}=(0,0,600+400\sqrt{3})$$
A intensidade do momento é $\Vert\vec{r}\times \vec{F}\Vert=1292,8$ N$\cdot$m.
Para encontrar o eixo de rotação utilizamos
$$\vec{\tau} =\vec{r} \times \vec{F}$$
$$\tau =r\cdot F\cdot \sin \theta $$
Considere uma força $F=(1,2,3)$ sendo aplicada no ponto $A=(5,3,3)$ fazendo com que o objeto gire em torno do ponto pivô $P=(-1,-1,2).$ Determine a direção do eixo de rotação.