Agora que você já entendeu como é possível obter as coordenadas dos pontos de uma reta em função de um parâmetro $t$ nesta aula você deverá aprender que uma mesma reta pode ser parametrizada de várias maneiras diferentes. A diferença de uma parametrização para outra indica a velocidade com que o ponto se desloca ao longo da reta. No final desta aula será proposto um pequeno desafio para você.
Vimos que dada uma parametrização de uma reta é possível identificar o vetor diretor da reta e um ponto no qual ela passa. Vamos considerar as seguintes parametrizações.
$$\alpha(t)=(1+3t,-1+t)$$
$$\gamma(t)=(1-3t,-1-t).$$
As duas parametrizações são de retas que passam pelo ponto $A=(1,-1)$, porém a diferença entre elas é que $\alpha$ tem como vetor diretor o vetor $v=(3,1)$ e $\beta$ tem como vetor diretor o vetor $w=(-3,-1).$ Observe que os vetores $v$ e $w$ são paralelos e, portanto, tem a mesma direção. Desta forma, as duas parametrizações são da mesma reta, pois ambas passam pelo mesmo ponto e tem a mesma direção. Lembre-se da aula anterior que o vetor diretor dá o sentido de deslocamento de acordo com a variação positiva do parâmetro $t$, então essas duas parametrizações mudam apenas a orientação da reta.
Vamos ver agora que uma parametrização muda não apenas a orientação da reta, mas também a velocidade de deslocamento.
Exemplo: Considere as parametrizações $$\beta(t)=(-2+3t,2t)$$ $$\varphi(t)=(-2+6t,4t).$$ Observe que a parametrização $\beta$ é da reta que passa pelo ponto $A=(-2,0)$ na direção do vetor $u=(3,2)$ e a parametrização $\varphi$ é da reta que passa por $A$ na direção do vetor $w=(6,4)$. Como os vetores $u$ e $v$ são paralelos, então tem a mesma direção e, consequentemente, as parametrizações $\alpha$ e $\varphi$ são da mesma reta.
Qual será diferença de uma parametrização para outra?
Vamos analisar como é deslocamento nas duas parametrizações de $t=0$ para $t=1.$
Para a parametrização $\beta$ o deslocamento é de $\beta(0)=(-2,0)$ para $\beta(1)=(1,2)$. Na parametrização $\varphi$ o deslocamento é de $\varphi(0)=(-2,0)$ para $\varphi(1)=(4,4)$.
Perceba que na parametrização $\varphi$ o deslocamento é maior que na parametrização $\beta$, podemos então concluir que a velocidade de deslocamento são diferentes. Na verdade a velocidade de deslocamento é dada pelo módulo do vetor diretor da reta. Você consegue provar isto?
Uma reta pode ser parametrizada de várias formas diferentes, o que muda de uma parametrização para outro é o sentido de deslocamento e a velocidade de deslocamento. Essas formas distintas de parametrizações são obtidas por meio de reparametrização.
Exercícios
1. Determine uma parametrização da reta que passa pelos pontos $A=(2,1,2)$ e $B=(4,5,-1).$
2. Determine a parametrização de uma trajetória retilínea de uma partícula no plano que no instante $t=2$ sua posição é o ponto $A=(2,3)$ e no instante $t=5$ sua posição é o ponto $B=(20, 4)$ e calcule a sua velocidade.
3. Tente provar que o módulo do vetor diretor da reta é igual a velocidade de deslocamento.
4. Encontre uma parametrização da reta $y=2x-2$.
5. Transforme para equação cartesiana a reta $\beta(t)=(-2+3t,2t)$
6. Encontre uma parametrização para reta $2x-3y-2=0$.
