Parametrização

Outra forma distinta de encontrar a equação de uma é reta por meio de parametrização. Parametrização de retas significa encontrar as coordenadas de seus pontos em função de um parâmetro $t\in\mathbb R$.

Exemplo: Considere o conjunto dos pontos $P=(2-t,3+t).$ Observe que para cada valor de $t$ escolhido o ponto $P$ terá uma coordenada diferente. Se $t=0$ o ponto $P$ terá as coordenadas (2,3). Se escolhermos $t=-2$ as coordenadas são (4,1). Para $t=1$ as coordenadas são (1,4). Assim podemos perceber que as coordenadas do ponto $P$ depende do valor de $t$, isto é, estão em função do parâmetro $t$ e observe, também, que os valores de podem ser qualquer número real. Escolha outros valores para o parâmetro $t$ e esboce os pontos no plano cartesiano.

Observe na figura que os pontos são colineares e então existe uma reta que passa por esses pontos.

Clique no botão e arraste para interagir e observe o ponto $P$ se deslocando ao longo da trajetoria a medida que $t$ varia.

Para parametrizar uma reta precisamos de um ponto $A=(x_0,y_0)$ e um vetor $v=(a,b)$ que chamaremos vetor diretor da reta, como discutido no Problema 2 da aula anterior.. O conjunto de todos os pontos $P=(x,y)$ tais que $\overrightarrow{AP}$ é paralelo a $v$ é uma reta paralela ao vetor $v$ que passa pelo ponto $A$.

Observe da figura que para todo ponto $P$ pertencente à reta deve existir um número real $t$ tal que $$\overrightarrow{AP}=tv \qquad (7).$$

Agora basta substituir as coordenadas de $A$ e $P$ na equação (7) para termos $$(x,y)=(at+x_0,bt+y_0) \quad t\in\mathbb R$$ Concluímos então que $P=(x,y)$ é um ponto da reta paralela ao vetor $v$ que passa por $A$ se, e somente se, suas coordenadas são dadas por por $$\alpha(t)=(at+x_0,bt+y_0) \quad t\in\mathbb R \qquad(8)$$ A expressão (8) é chamada parametrização da reta e o vetor $v$ é chamado vetor diretor da reta.

Observe na figura abaixo que só de olhar para parametrização da reta já é possível indentificar um ponto da reta e o vetor diretor.

Exemplo: A parametrização $\gamma(t)=(2-t,1+3t), \quad t\in\mathbb R$ é de uma reta paralela ao vetor $v=(-1,3)$ que passa pelo ponto $A=(2,1)$. Observe que as coordenadas dos pontos desta reta dependem do parâmetro $t.$

Exemplo: A parametrização da reta que passa pelo ponto $A=(4,4,5)$ paralela ao vetor $v=(2,3,3)$ é dada por $$\beta(t)=(4+2t, 4+3t,5+3t)$$

A equação paramétrica de uma reta no espaço euclidiano com mais de duas coordenadas tem a mesma forma. Você deve observar que ao olhar para equação paramétrica já e possível identificar um ponto no qual a reta passa e o seu vetor diretor.

Exemplo: A parametrização da reta que passa pelo ponto $A=(2,1,-3)$ paralela ao vetor $v=(1,-3,1)$ é dada por $$\alpha(t)=(2+t, 1-3t, -3+t)$$

Exemplo: A reta parametrizada por $\beta(t)=(2-2t, t)$ tem como vetor diretor o vetor $w=(-2,1).$ Observe que se $t=1$ temos ponto $$\beta(1)=(0,1).$$ Agora observe que se fizermos uma variação positiva do parâmetro $t,$ o ponto $\beta(1)$ irá de deslocar no mesmo sentido do vetor $w$. Por exemplo, se $t=3$ temos $$\beta(3)=(-4,3).$$ O deslocamento de $\beta(1)$ para $\beta(3)$ foi no mesmo sentido do vetor $w$. A variação positiva do parãmetro $t$ fará com que o ponto se desloque no sentido do vetor diretor. Se a variação do parâmetro for negativa o deslocamento será no sentido contrario do vetor diretor.