O vetor $\lambda v$, como mostra a figura, é chamado projeção do vetor $u$ sobre o vetor $v$ simbolizado por $P^u_v.$
Observe na figura que o vetor $$w=u-\lambda v$$ é perpendicular ao vetor $v.$ Fazendo produto escalar de $w$ com $v$ temos $$\lambda=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}$$ Então vetor projeção é calculado por meio da fórmula $$P^u_v=\left(\frac{u\cdot v}{v \cdot v}\right)v.$$
Observe que o termo que está entre parênteses é um número real.
Exemplo: Se $v=(3,1)$ e $u=(1,1)$ então a projeção de $v$ sobre $u$ é o vetor $$P^v_u=\left(\frac{3\cdot1+1\cdot1}{1^2+1^2}\right)(1,1).$$ Segue que $$P^v_u=2\cdot (1,1),$$ portanto $$P^v_u=(2,2).$$
Exemplo: Considere os vetores $v=(2,-1,1)$ e $u=(3,0,1)$. A projeção de $v$ sobre o vetor $u$ é obtida fazendo da mesmo forma como no exemplo anterior, basta utilizar a fórmula, então temos o vetor $$P^v_u=\left(\frac{2\cdot3-1\cdot0+1\cdot 1}{3^2+0^2+1^2}\right)(3,0,1).$$ Segue que $$P^v_u=\frac{7}{10}\cdot (3,0,1),$$ portanto $$P^v_u=\left(\frac{21}{10},0,\frac{7}{10}\right).$$
Considere o paralelogramo definido pelos vetores $u$ e $v.$
A área do paralelogramo, denotada por $A$, é calculada multiplicando a medida de sua base pela medida de sua altura, observe da figura que $$A=\|v\|\cdot h.$$
Veja também que a altura do paralelogramo é o comprimento do vetor $u-P^u_v $ e então \begin{equation}A^2=\|v\|^2\cdot\|u-P^u_v\|^2 \qquad (*)\end{equation} Por outro lado, segue do Teorema de Pitágoras que $$\|u-P^u_v\|^2+\|P^u_v\|^2=\|u\|^2.$$ Isolando $\|u-P^u_v\|^2$ e substituindo na equação $(*)$ obtemos $$A^2=\|v\|^2\|u\|^2-\|v\|^2\|P^u_v\|^2. \qquad(**)$$ Como $$P^u_v=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v$$ então $$\|P^u_v\|^2=\frac{(u\cdot v)^2}{v\cdot v}.$$ Substituindo esta última igualdade na equação $(**)$ obtemos a fórmula da área do paralelogramo dada por $$A^2=\|v\|^2\|u\|^2-(u\cdot v)^2.$$
Exemplo: Para calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores $u=(2,1)$ e $v=(-3,3)$ temos que $$\Vert u\Vert^2=5, \quad \Vert v\Vert^2=18$$ e $$u\cdot v=-3.$$ Utilizando a fórmula $$A^2=\|v\|^2\|u\|^2-(u\cdot v)^2$$ obtemos $$A^2=81.$$ Logo, a área do paralelogramo é igual a 9 unidades de área.
Exemplo: Da mesma maneira, se quisermos calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores $a=(2,1,0)$ e $b=(1,3,-1)$ temos que $$\Vert a\Vert^2=5, \quad \Vert v\Vert^2=11$$ e $$u\cdot v=5.$$ Logo, a área do paralelogramo é igual a $\sqrt{30}$ unidades de área.
Considere um triângulo $ABC$.
Observe que esse triângulo é a metade da área de um paralelogramo.Sendo assim, para calcular sua área escolha um de seus vértices e calcule a área do paralelogramo definido pelos lados adjacentes ao vértice escolhido.
Exemplo: Considere o triângulo $A=(1,1),B=(1,4)$ e $C=(3,2)$.Para calcular a sua área vamos considerar o paralelogramo definido pelos vetores com origem no vértice A, como mostra a figura.
Dessa forma, temos os vetores $\vec{AB}=(0,3)$ e $\vec{AC}=(2,1).$ Agora é só aplicar a fórmula da área do paralelogramo definido por $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ $$\Vert A\Vert^2=\Vert \vec{AB}\Vert^2 \Vert \vec{AC}\Vert^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2.$$ A área encontrada do paralelogramo é $\sqrt{6}$ e então a área do triângulo é $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
Esse mesmo processo poderia ter sido feito escolhendo os outros vértices considerando o paralelogramo definido por $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$ ou considerando o paralelogramo definido por $\vec{CA}$ e $\vec{CB}$
Como calcular a área de um terreno definido por uma região poligonal qualquer?
Toda região poligonal pode ser dividida em regiões triangulares, como mostra a figura a seguir. Sendo assim, faça uma divisão conveniente e calcule a área de cada região triangular e a área total será a soma das áreas dos triângulos
Considerando os valores na tabela abaixo calcule a área do terreno.
| Linha | Azimute | Comprimento |
|---|---|---|
| $O-A$ | 60° | 50m |
| $O-B$ | 135° | 30m |
| $O-C$ | 300 | 35m |