Dado um ponto fixo $A$ e um vetor $w$ no espaço euclidiano $\mathbb R^3$ um plano $\mathcal{P}$ pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos $P$ de $\mathbb R^3$ tais que o vetor $\overrightarrow{AP}$ seja perpendicular a $n$.
Considerando $A=(x_0,y_0,z_0)$ e $w=(a,b,c)$ o conjunto de todos os pontos $P=(x,y,z)$ tais que o vetor $\overrightarrow{AP}$ seja perpendicular a w são obtidos a partir da expressão $$\overrightarrow{AP}\cdot w=0 \qquad (1).$$
Substituindo as coordenadas de $A$ e $P$ na expressão (1) iremos obter $$ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0. \qquad (2)$$
Podemos concluir que $P$ é um ponto do plano $\pi$ que contém o ponto $A$ e é perpendicular ao vetor $v$ se, e somente se, suas coordenadas formam uma solução para equação $$ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0.$$
O lado esquerdo da expressão (2) é uma constante na qual chamaremos de $d$ e a equação do plano ficará, portanto, na forma simplificada dada $$ax+by+cz=d$$
Exemplo: A equação $2x-3y-z=1$ é de um plano perpendicular ao vetor $w=(2,-3,-1)$.
Exemplo: Considere os planos $$\alpha: \quad x-3y+z=2$$ e $$\beta: \quad -2x+6y-2z=-3.$$ O plano $\alpha$ é perpendicular ao vetor $u=(1,-3,1)$ e o plano $\beta$ é perpendicular ao vetor $v=(-2,6,-2).$ Observe que os vetores $u$ e $v$ são paralelos, e portanto os planos $\alpha$ e $\beta$ também o são. Além disso, observe que os planos $\alpha$ e $\beta$, embora são paralelos, não são iguais, pois é possível obter um ponto que está em $\alpha$ mas não está em $\beta$. Se conseguíssemos encontrar um ponto que está em $\alpha$ e $\beta$, simultaneamente, poderíamos concluir que são iguais. Veja que o ponto $A=(-1,-1,0)$ está em $\alpha$ mas não está em $\beta$ e, portanto, os planos não são iguais.
Exemplo: Dado três pontos $A, B$ e $C$ existe um único plano que passa por esses pontos
Suponhamos que $A=(4,1,3)$ $B=(2,0,1)$ e $C=(-1,-1,0).$ Lembre que para encontrar a equação de um plano precisamos de um ponto do plano, no caso ja temos três, e um vetor perpendicular. O que está faltando é apenas encontrar um vetor perpendicular ao plano. Já que conhecemos $A, B$ e $C$ podemos considerar os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ e considerar como vetor perpendicular o vetor $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.$
Calculando este produto vetorial temos $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,4,-1).$$ Desta forma, a equação do plano fica $$-x+4y-z=d.$$ Para encontrar o valor da constante $d$ basta substituir as coordenadas de um dos pontos dados na equação. Se escolhermos o ponto $A$ temos $$-4+4\cdot 1-3=d.$$ Assim obtemos o valor de $d$ igual a -3 e a equação do plano que passa por $A, B$ e $C$ é dada por $$-x+4y-z=-3.$$
1. Verifique quais dos pontos $E=(1,2,1)$ $F=(2,2,2)$ $G=(-2,-6,-1)$ e $H=(-1,-1-3)$ pertencem ao plano $$x+y-z=4.$$
2. Determine a equação do plano que é perpendicular ao vetor $w=(0,0,-2)$ e passa pelo ponto $P=(1,-3,-3)$ e esboce o seu gráfico.
4. Considere as equações $2x-y+3z=2$ e $-2x+y-3z=-2$. Esses plano são iguais ou apenas paralelos?
5. Determine a equação de um plano que contem os pontos $P=(1,1,1)$, $Q=(-2,0,3)$ e $R=(2,4,-5).$
6. Calcule a equação de um plano que passa pelo ponto $A=(0,0,3)$ e é paralelo aos vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(-1,-2,1).$
Gabarito