Dado um ponto fixo $A$ e um vetor $w$ no espaço euclidiano $R^{3}$ um plano $P$ pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos $P$ de $R^{3}$ tais que o vetor $\vec{A P}$ seja perpendicular a $n$ .

Clique no ponto P e arraste. Observe que o vetor

\vec{A P}

sempre é perpendicular ao vetor

n .

Equação cartesiana

Considerando $A = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ e $w = (a, b, c)$ o conjunto de todos os pontos $P = (x, y, z)$ tais que o vetor $\vec{A P}$ seja perpendicular a w são obtidos a partir da expressão $\vec{A P} \cdot w = 0 (1) .$

Substituindo as coordenadas de $A$ e $P$ na expressão (1) iremos obter $a x + b y + c z = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} . (2)$

Podemos concluir que $P$ é um ponto do plano $π$ que contém o ponto $A$ e é perpendicular ao vetor $v$ se, e somente se, suas coordenadas formam uma solução para equação $a x + b y + c z = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} .$

O lado esquerdo da expressão (2) é uma constante na qual chamaremos de $d$ e a equação do plano ficará, portanto, na forma simplificada dada $a x + b y + c z = d$

Exemplo: A equação $2 x - 3 y - z = 1$ é de um plano perpendicular ao vetor $w = (2, - 3, - 1)$ .

Observe que apenas de olhar a equação de um plano já é possível identificar as coordenadas do vetor perpendicular ao plano.

Exemplo: Considere os planos $α : x - 3 y + z = 2$ e $β : - 2 x + 6 y - 2 z = - 3.$ O plano $α$ é perpendicular ao vetor $u = (1, - 3, 1)$ e o plano $β$ é perpendicular ao vetor $v = (- 2, 6, - 2) .$ Observe que os vetores $u$ e $v$ são paralelos, e portanto os planos $α$ e $β$ também o são. Além disso, observe que os planos $α$ e $β$ , embora são paralelos, não são iguais, pois é possível obter um ponto que está em $α$ mas não está em $β$ . Se conseguíssemos encontrar um ponto que está em $α$ e $β$ , simultaneamente, poderíamos concluir que são iguais. Veja que o ponto $A = (- 1, - 1, 0)$ está em $α$ mas não está em $β$ e, portanto, os planos não são iguais.

Exemplo: Dado três pontos $A, B$ e $C$ existe um único plano que passa por esses pontos

Suponhamos que $A = (4, 1, 3)$ $B = (2, 0, 1)$ e $C = (- 1, - 1, 0) .$ Lembre que para encontrar a equação de um plano precisamos de um ponto do plano, no caso ja temos três, e um vetor perpendicular. O que está faltando é apenas encontrar um vetor perpendicular ao plano. Já que conhecemos $A, B$ e $C$ podemos considerar os vetores $\vec{A B}$ e $\vec{A C}$ e considerar como vetor perpendicular o vetor $\vec{A B} \times \vec{A C} .$

Calculando este produto vetorial temos $\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 1, 4, - 1) .$ Desta forma, a equação do plano fica $- x + 4 y - z = d .$ Para encontrar o valor da constante $d$ basta substituir as coordenadas de um dos pontos dados na equação. Se escolhermos o ponto $A$ temos $- 4 + 4 \cdot 1 - 3 = d .$ Assim obtemos o valor de $d$ igual a -3 e a equação do plano que passa por $A, B$ e $C$ é dada por $- x + 4 y - z = - 3.$

Observações:

Faça a conta para verificar o resultado de $\vec{A B} \times \vec{A C} .$
Escolha os pontos $B$ ou $C$ e verifique que ao substituir encontrará o mesmo valor para $d .$
Poderia escolher também como vetor perpendicular o vetores $\vec{B A} \times \vec{B C}$ ou $\vec{C A} \times \vec{C B}$ . Verifique o que acontece ao escolher esses vetores.

Exercícios

1. Verifique quais dos pontos $E = (1, 2, 1)$ $F = (2, 2, 2)$ $G = (- 2, - 6, - 1)$ e $H = (- 1, - 1 - 3)$ pertencem ao plano $x + y - z = 4.$

2. Determine a equação do plano que é perpendicular ao vetor $w = (0, 0, - 2)$ e passa pelo ponto $P = (1, - 3, - 3)$ e esboce o seu gráfico.

4. Considere as equações $2 x - y + 3 z = 2$ e $- 2 x + y - 3 z = - 2$ . Esses plano são iguais ou apenas paralelos?

5. Determine a equação de um plano que contem os pontos $P = (1, 1, 1)$ , $Q = (- 2, 0, 3)$ e $R = (2, 4, - 5) .$

6. Calcule a equação de um plano que passa pelo ponto $A = (0, 0, 3)$ e é paralelo aos vetores $u = (1, 1, 1)$ e $v = (- 1, - 2, 1) .$

Gabarito