Na aula anterior você viu que para obter a equação de um plano $\alpha$ é preciso conhecer um ponto e um vetor perpendicular. Nesta aula você verá que existe uma outra forma diferente de definir um plano que é dois vetores $u$ e $v$ e perceba que o conjunto de todas as combinações lineares de $u$ e $v$ determinam um plano que chamamos de plano gerado por $u$ e $v$. A partir desta abordagem obtemos a parametrização do plano.
Considere dois vetores $u$ e $v$ e um ponto $A$ em $\mathbb R^3.$ O conjunto de todos os pontos $P$ tais que $$\overrightarrow{AP}=tu+sv, \qquad (1)$$ onde $t, s \in\mathbb R$ determina um plano chamado de plano gerado por $u$ e $v$. Observe que esta afirmação quer dizer que qualquer combinação linear de $u$ e $v$ estão no mesmo plano que os contém.
Sabendo agora que dois vetores $u$ e $v$ geram um plano podemos, então, determinar suas equações paramétricas.
Para obter a parametrização do plano gerado por $u=(a_1,b_1,c_1)$ e $v=(a_2,b_2,c_2)$ que passa pelo ponto $A=(x_0,y_0,z_0)$ temos que encontrar os pontos $P=(x,y,z)$ tais que $\overrightarrow{AP}$ seja combinação linear de $u$ e $v$. Para fazer isso basta substituir suas coordenadas na equação (1) e então $$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=(ta_1+sa_2,tb_1+sb_2,tc_1+sc_2).$$
Sendo assim, iremos obter $$(x,y,z)=(ta_1+sa_2+x_0,tb_1+sb_2+y_0,tc_1+sc_2+z_0).$$
Observe que esta última igualdade nos dá as coordenadas dos pontos $P$ pertencente ao plano e cada uma delas estão em função dos parâmetros $t, s\in\mathbb R$
Escrevemos então a parametrização do plano $\mathcal P$, cujos pontos dependem de $t,s \in\mathbb R$ da forma $$\mathcal P(t,s)=(ta_1+sa_2+x_0,tb_1+sb_2+y_0,tc_1+sc_2+z_0). \qquad (2)$$
A expressão (2) é chamada parametrização do plano que contém o ponto $A$ gerado pelos vetores $u$ e $v$.
Note que apenas de olhar para parametrização do plano você ja consegue identificar os vetores geradores e um ponto do plano
Exemplo: O Plano gerado pelos vetores $u=(-1,-2,4)$ e $v=(2,0,1)$ que passa pela origem do espaço é parametrizado por $$\mathcal P(t,s)=(-t+2s,-2t,4t+s), \qquad t,s\in\mathbb R$$
Exemplo: A expressão $$\mathcal P(t,s)=(-t+1,t-s+2,2t+s-3)$$ é a parametrização de um plano gerado pelos vetores $u=(-1,1,2)$ e $v=(0,-1,1)$ e passa pelo ponto $A=(1,2,-3).$
1. Determine a parametrização do plano que passa pelo ponto $P=(2,1,0)$ gerado pelos vetores $w_1=(1,0,1)$ e $w_2=(2,-3,7).$
2. Determine a parametrização do plano que passa pelo ponto $P=(0,1,0)$ gerado pelos vetores $w_1=(0,0,1)$ e $w_2=(4,-8,7).$
3. Calcule a equação cartesiana do plano $\mathcal P$ cuja parametrização é dada por $$\mathcal P(s,t)=(2t+3s-1,t-s+4,t+s).$$
4. Determine uma parametrização para o plano $2x+y-z=-6.$
5. Calcule uma equação paramétrica para o plano que passa pelos pontos $P=(-4,3,2),$ $Q=(9,0,1)$ e $R=(7,-1,-5).$
Gabarito