Equação geral de segundo grau

Vimos que a elipse, hipérbole e parábola são subconjuntos do plano cujas equaçoes são do segundo grau da forma $$Ax^2+By^2+Cx+Dy+Exy+F=0$$

Utilizando translação e rotação podemos transformar uma equação geral de segundo grau em uma equação na forma reduzida e assim identificar se é uma elipse, hipérbole ou uma parábola.

Ja fizemos isto nas aulas anteriores, porém, nesta aula, iremos fazer este processo apenas conhecendo a equação, no qual iremos ter que calcular qual é o ângulo de rotação e a translação a ser feita.

Para resolver este problema vamos aplicar uma rotação de forma genérica, ou seja, substituir $x$ e $y$ na equação por $$x=x_1\cos\theta-y_1\sin\theta$$ $$y=x_1\sin\theta+y_1\cos\theta.$$ para calcularmos o ângulo de rotação.

Fazendo isto, obtemos \begin{eqnarray*} & & 4(x_1\cos\theta-y_1\sin\theta)^2+(x_1\sin\theta+y_1\cos\theta)^2 \\&+&4(x_1\cos\theta-y_1\sin\theta)(x_1\sin\theta+y_1\cos\theta)\\&+&x_1\cos\theta-y_1\sin\theta-2(x_1\sin\theta+y_1\cos\theta)=0. \end{eqnarray*}

desenvolvendo os produtos notáveis obtemos \begin{eqnarray*} & & (4x_1^2\cos^2\theta-8x_1y_1\cos\theta\sin\theta+4y_1^2\sin^2\theta)\\&+& (x_1^2\sin^2\theta+2x_1y_1\sin\theta\cos\theta+y_1^2\cos^2\theta)\\&+& (4x_1^2\cos\theta\sin\theta+4x_1y_1\cos^2\theta-4y_1x_1\sin^2\theta- 4y_1^2\sin\theta\cos\theta)\\ &+& (x_1\cos\theta-y_1\sin\theta-2x_1\sin\theta-2y_1\cos\theta)=0. \end{eqnarray*}

Ao determinar os coeficientes de $x_1,$ $y_1,$ $x_1^2$ e $y_1^2$ obtemos \begin{eqnarray} & & (4\cos^2\theta+\sin^2\theta+4\cos\theta\sin\theta)x_1^2\nonumber\\&+& (4\sin^2\theta+\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta)y_1^2\nonumber\\ &+& \textcolor{red}{(-6\cos\theta\sin\theta+4\cos^2\theta-4\sin^2\theta)}x_1y_1\nonumber\\&+& (\cos\theta-2\sin\theta)x_1+(-\sin\theta-2\cos\theta)y_1=0. \end{eqnarray}

Para que a rotação possa reduzir a equação devemos eliminar o termo misto, então devemos igualar o coeficiente de $x_1y_1$ a zero, portanto $$-6\cos\theta\sin\theta+4\cos^2\theta-4\sin^2\theta=0. \quad(1)$$ Agora devemos encontrar $\theta$ que seja solução da equação (1).

Substituindo na equação (1) temos $$-3\sin2\theta+4\cos2\theta=0,$$ portanto $$\tan2\theta=\dfrac{4}{3}.$$ Como $$\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\dfrac{4}{3},$$ então $$ \dfrac{4}{3}\tan^2\theta+2\tan\theta-\dfrac{4}{3}=0$$ $$\Rightarrow 4\tan^2\theta+6\tan\theta-4=0 \quad(2)$$ Note que a equação (2) é uma equação de segundo grau.

Temos que $$\Delta=\dfrac{100}{9},$$ então $$\mbox{ou}\quad\tan\theta=\dfrac{1}{2}\qquad\mbox{ou}\quad\tan\theta=-2.$$

Agora podemos perceber que $$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{1}{2},$$ segue que $$\cos\theta=2\sin\theta.$$ Substituindo na identidade $$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,$$ obtemos $$\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \qquad \cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.$$

Substituindo os valores de $\sin\theta$ e $\cos\theta$ na equação (1), obtemos $$y_1=\sqrt{5}x_1^2.$$ Assim, temos a equação na forma reduzida de uma parábola no sistema de coordenadas $x_10y_1.$