Definimos a norma (ou módulo) de um vetor $v=(x_1,x_2,...,x_n)$ no espaço euclidiano como sendo o número real $$\Vert v\Vert=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.$$ A norma do vetor $v$ é a medida de seu comprimento, isto é, a distância de sua origem até a sua extremidade
Exemplo: O vetor $v=(2,-3,-1)$ tem o seu comprimento dado por $$\Vert v\Vert=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{14}.$$
Exemplo: O vetor $w=(-4,5,0)$ tem norma igual à $$\Vert w\Vert=\sqrt{16+25+0}=\sqrt{41}$$
Um vetor unitário é um vetor cujo seu comprimento é igual a 1. Dado um vetor $v$ para que possamos torná-lo unitário basta multiplicá-lo pelo inverso de sua norma, isto é, consideramos o vetor $$u=\frac{v}{\Vert v\Vert}.$$
A norma de vetores pode ser entendida com uma função que associa um vetor $v$ a um número real positivo, isto é, a função norma associa o vetor ao seu comprimento. Além disso, tem as seguintes propriedades:
A primeira propriedade diz que a norma de um vetor é sempre maior que ou igual a zero, note queisto é natural de se esperar porque como a norma é a medida de seu comprimento tal medida é sempre um número positivo e será igual a zero quando sempre que $v$ for o vetor nulo.
A segunda propriedade garante que calcular a norma do vetor $t \cdot v$ é o mesmo que calcular a norma de $v$ e multiplicar pelo valor absoluto de $t$.
Exemplo: O vetor $w=(4,-3)$ tem norma igual a $5$ e o vetor $-3\cdot w=(-12,9)$ tem norma igual a $15$, isto é, temos que $$\Vert -3\cdot w\Vert=|-3| \vert w\Vert$$
A terceira propriedade é a desigualdade triangular. Essa desigualdade pode ser vista geometricamente como mostra a figura abaixo. Veja que deslocar de $A$ para $C$ é sempre menor que deslocar de $A$ para $B$ e depois de $B$ para $C.$ O deslocamento de $A$ para $C$ é a norma de $u+v$ e o deslocamento de $A$ para $B$ é a norma de $u$ e o deslocamento de $B$ para $C$ é a norma de $v$. Observe que a igualdade só irá ocorrer se $u$ e $v$ forem paralelos. Por isso que a desigualdade não é estrita.
Para demonstrá-la podemos observar que $$\Vert u+v\Vert^2=\Vert u\Vert^2+2u\cdot v+\Vert v \Vert^2.$$
Por outro lado, considerando o ângulo entre os vetores $u$ e $v$ temos $$\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\Vert u\Vert \Vert v\vert},$$ e como $|\cos\theta|\le 1$ obtemos a desigualdade a seguir, conhecida como Desigualde de Cauchy-Schwrz: $$u\cdot v \le \Vert u\Vert \Vert v\Vert.$$
Sendo assim, temos que $$\Vert u+v\Vert^2=\Vert u\Vert^2+2u\cdot v+\Vert v \Vert^2 \le \Vert u\Vert^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert+\Vert v \Vert^2.$$ Percebe-se um produto notável, fazendo a fatoração temos $$\Vert u+v\Vert^2 \le \Vert u\Vert^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert+\Vert v \Vert^2 = (\Vert u \Vert + \Vert v\Vert)^2$$ o que implica em $$\Vert u+v\Vert \le \Vert u \Vert + \Vert v\Vert.$$
Sejam $u=(x_1,x_2)$ $v=(y_1,y_2)$ vetores no espaço bidimensional $\mathbb R^2.$
Observe que para obtermos a norma de $ u-v=(x_1-y_1,x_2-y_2)$ temos que $$\Vert u-v\Vert^2= (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2$$ Desenvolvendo cada produto notável segue que $$\Vert u-v\Vert^2=x_1^2+2x_1y_1+y_1^2 + x_2^2+2x_2y_2+y_2^2$$ Observe que podemos fazer o seguinte agrupamento $$\Vert u-v\Vert^2 = (x_1^2+x_2^2)-2(x_1y_1+x_2y_2)+(y_1^2+y_2^2),$$ o que nos dá $$\Vert u-v\Vert^2 = \Vert u\Vert^2 -2(x_1y_1+x_2y_2) + \Vert v\Vert^2.$$
A expressão $(x_1y_1+x_2y_2)$ obtida é chamada de produto escalar entre os vetores $u$ e $v$ denotada por $u\cdot v.$ Assim, reescrevemos $$\Vert u-v\Vert^2 = \Vert u\Vert^2 -2u\cdot v + \Vert v\Vert^2.$$.
O produto escalar aparece em várias situações de cálculos e então dedicaremos um tópico para estudá-lo. Observe que, a partir dessa motivação dada, o produto escalar é tratado apenas como um objeto abstrato, porém ao estudar projeções de vetores é possivel dar um interpretação geométrica e isso será compreendido mais adiante. Faremos agora seu estudo no caso geral onde abordaremos sua definição e suas propriedades.
Definimos o produto escalar entre os vetores $u=(x_1,\cdots,x_n)$ e $v=(y_1,\cdots,y_n)$ por $$u\cdot v=x_1y_1+...+x_ny_n.$$
Exemplo: Dados os vetores $v=(1,5,0,3,-2)$ e $w=(3,1,-1,2,2)$ o produto escalar de $v$ por $w$ é $$v\cdot w=1\cdot3+5\cdot 1+0\cdot(-1)+3\cdot2+(-2)\cdot2=10$$
Proposição : Sejam $u, v$ e $w$ vetores e $\lambda$ um número real.
A verificação dessa proposição é bem simples. Vamos considerar um caso particular tomando vetores $u, v$ e $w$ em $\mathbb R^2$ e então suponhamos que $u=(x_1,y_1)$ e $v=(x_2,y_2)$ e $w=(x_3,y_3).$
Para a primeira propriedade temos que do lado esquerdo da igualdade $$u\cdot v =x_1x_2+y_1y_2.$$ Por outro lado, no lado direito da igualdade $$v\cdot u =x_2x_1+y_2y_1.$$ Portanto, $$u\cdot v=v\cdot u$$
Para verificar a segunda propriedade observe que $$(u+v) \cdot w=(x_1+x_2)x_3+(y_1+y_2)y_3$$ o que implica que $$(u+v) \cdot w=x_1x_3+x_2x_3+y_1y_3+y_2y_3$$ Por outro lado, temos também que $$(u \cdot w) + (v\cdot w)= (x_1x_3+y_1y_3)+(x_2x_3+y_2y_3).$$ Logo $$(u+v) \cdot w =(u \cdot w) + (v\cdot w)$$
As terceira e quarta propriedades ficam como exercício. Você consegue? Tente! Vai uma dica: faça da mesma forma como foi feito nas duas primeiras propriedades. Calcule a expressão do lado direito da igualdade e depois calcula a expressão do lado esquerdo e veja que são iguais.
