A interseção entre uma reta e um plano é o conjunto de pontos que pertencem à reta e ao plano simultaneamente. Você deverá entender nesta aula os casos de interseção entre uma reta e um plano e como determinar esta interseção.
Interseção entre reta e plano
Considere uma reta $r$ e um plano $\pi$ no espaço euclidiano tridimensional. Dizemos que a interseção da reta com o plano é não vazia se existe pelo menos um ponto $I$ que pertence à reta e ao plano simultaneamente.
Observe na figura que o ponto $I$ pertence á reta e ao plano. O ponto $A$ pertence ao plano mas não pertence à reta e, portanto, não está na interseção. O ponto $B$ pertence está na reta mas não está no plano e logo não está na interseção.
A interseção entre uma reta e um plano, quando não for vazia, pode acontecer de duas maneiras. A primeira é quando a interseção tem apenas um ponto, como mostra a figura anterior, e a outra é quando a reta está contida no plano e, então, a interseção será a própria reta.
Calculando a interseção entre reta e plano
Como interseção entre uma reta e um plano é o conjunto de pontos que pertencem à reta e ao plano simultaneamente, então perceba que as coordenadas dos pontos de interseção devem ser solução da equação do plano e da reta simultaneamente. Vamos ver um exemplo.
Exemplo: Considere o plano de equação $$2x+3y-5z=8$$ e a reta $r$ dada por $$r(t)=(2+t,3t,1-2t).$$
Como o ponto de interseção $I$ pertence à reta então suas coordenadas devem ser $$I=(2+t_0,3t_0,1-2t_0), \quad (1)$$ para algum valor $t_0\in\mathbb R.$ Por outro lado, como o ponto $I$ também pertence ao plano, então podemos substituir suas coordenadas na equação do plano. Desta forma, temos $$2(2+t_0)+3(3t_0)-5(1-2t_0)=8. \quad (2)$$ Resolvendo a expressão (2) obtemos o valor $t_0=\frac{3}{7}.$ o valor de $t_0$ que encontramos é exatamente o valor do parâmetro quando a reta passa pelo plano. Agora para encontrar o ponto $I$ basta substituir o valor de $t_0$ em suas coordenadas dadas em (1). Obtemos $$I=\left(\frac{17}{7},\frac{9}{7},\frac{1}{7}\right).$$
neste caso a interseção é apenas o ponto $I$.
Viu como é simples a ideia? Sempre que precisar encontrar a interseção entre reta e plano a estratégia é a mesma do exemplo anterior.
Exemplo: Vamos encontrar a interseção entre a reta $r$ dada por $$r(t)=(1-5t,3+4t,5-4t)$$ e o plano $\pi$ de equação $$-44x-29y+26z=-1.$$
Vamos utilizar a mesma ideia do exemplo anterior. Como o ponto de interseção $I$ pertence à reta então suas coordenadas devem ser da $$I=(1-5t_0,3+4t_0,5-4t_0)$$. Substituindo as coordenadas do ponto $I$ na equação do plano, temos que $$-44(1-5t_0)-29(3+4t_0)+26(5-4t_0)=-1.$$
Simplificando a equação obtemos
$$-44+220t_0-87-116t_0+130-104t_0=-1. \quad (3)$$
Observe que na igualdade (3) $t_0$ á anulado e resulta em $$-1=-1.$$
Com isso concluímos que que todos os pontos da reta pertencem ao plano, então a reta esta contida no plano.
Agora é importante que você pratique bastante como determinar a interseção entre reta e plano. Na próxima aula você aprenderá como aplicar essas ideias para calcular distância entre ponto e reta e distância entre ponto e plano.
Exercícios
1. Calcule a interseção da reta $\beta(t)=(2-t,t,1+t)$ com o plano $3x+y=3.$
2. Calcule a interseção da reta $\beta(t)=(2-t,t,1+t)$ com o plano $3x+y+z=0.$
3. Determine a interseção da reta $\alpha(t)=(-t,t,t)$ com o plano $-2x+y-z=10.$
4. Encontre a interseção da reta $\gamma(t)=(-2t,1,t-3)$ com plano que é perpendicular ao vetor $w=(2,1,-1)$ e passa pelo ponto $A=(1,8,-5).$
5. Encontre a interseção da reta $\varphi(t)=(-2t,1,t-3)$ com plano que passa pelos ponto $A=(1,3,5),$ $B=(-4,7,1)$ e $C=(2,-3,0).$
6. Dado o plano de equação $3x+2y+z=6$ e o ponto $Q=(3,-1,5).$ Calcule a interseção da reta, perpendicular ao plano, que passa pelo ponto $Q$ com o plano.
