Agora que já compreendemos como são os objetos do espaço euclidiano daremos mais um passo para compreender como definimos a distância entre dois pontos. A distância entre pontos é um conceito fundamental, pois partir da noção de distância podemos obter novos objetos da geometria tais como circunferência, esfera, elipse, hipérbole e vários outros conjuntos importantes estudados em Geometria Analítica. Veremos nessa seção a distância entre dois pontos nos espaço euclidiano o conceito de esfera e elipse a partir da noção de distancia euclidiana e algumas aplicações práticas.
Distância
A fórmula da distância entre dois pontos é motivada pelo Teorema de Pitágoras e pode ser interpretada geometricamente. Vamos começar estudando distância entre dois pontos no espaço euclidiano $\mathbb R^2.$ Considere os pontos $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2,y_2)$ qual é a relação entre a distância entre $A$ e $B$ com as suas coordenadas?
Analisando a figura temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância entre $A$ e $B,$ que chamaremos de $d(A,B).$ Observe que pelo Teorema de Pitágoras temos $$d(A,B)^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$$ o que nos dá a relação $$d(A,B)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$
Discuta com seu grupo uma maneira de deduzir a distância entre dois pontos no escapço Euclidiano $\mathbb R^3.$ Clique no link para visualizar geometricamente o problema. Distancia em $\mathbb R^3.$
A partir dessa ideia podemos definir a distância entre dois pontos em $\mathbb R^n.$ Sejam $A=(x_1,...,x_n)$ e $B=(y_1,...,y_n)$ pontos em $\mathbb R^n.$ Definimos a distância euclidiana entre $A$ e $B$ por
$$d(A,B)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+...(x_n-y_n)^2.}$$
Exemplo: A distância entre os pontos $A=(1,0,3,-2)$ e $B=(-2,2,0,-3)$ é dada por
$$d(A,B)=\sqrt{(1+2)^2+(0-2)^2+(3-0)^2+(-2+3)^2}=\sqrt{23}$$
Aplicação em topografia
O método de levantamento topográfico por irradiação baseia-se em estabelecer uma estação central O, de onde todos os vértices que definem a poligonal possam ser vistos. A partir da estação central medem-se as distâncias aos vértices $A, B, C$ e $D$ da poligonal e os ângulos horizontais entre a direção norte sul com a linhas que possuem a estação central e o vértice, medido a partir do Norte para direita, chamado azimute à direita.
Considerando os valores na tabela abaixo discuta com alguém um maneira de calcular as coordenadas dos vértices e o perímetro do terreno do terreno.
Linha
Azimute
Comprimento
$O-A$
45°
84m
$O-B$
60°
70m
$O-C$
180°
70m
$O-D$
315°
68m
Indicação de filmes
Considere a classificação de um filme conforme o modelo de lista ordenada
$$f=(\mbox{ação,comédia, suspense, romance, policial, infantil, terror})$$
onde cada item onde cada item indica um gênero cinematográfico obtendo valor 0 ou 1.
Dada a classificação do filme Shrek por
$$\mbox{Shrek} = (0,1,0,1,0,1,0)$$
Calcule a distância do filme shrek com cada filme à seguir e utilizando critério de distância $d(x,y)\le 1$ para indicar quais podem entrar na lista de títulos semelhantes.
$$\mbox{Madagascar}=(0,1,0,0,0,1,0)$$
$$\mbox{Gladiador}=(1,0,0,1,0,0,0)$$
$$\mbox{Gente Grande}=(0,1,0,0,0,0,0)$$
$$\mbox{Tropa de elite}=(1,0,0,0,1,0,0)$$
$$\mbox{Batman}=(1,0,1,0,1,1,0)$$
$$\mbox{A Bela e a Fera}=(0,0,0,1,0,1,0)$$
$$\mbox{Big Mouth}=(0,1,0,0,0,0,0)$$
Discuta com seu grupo sobre o que aconteceria se o filme Shrek for classificado também como filme de ação. Discuta também as mudanças que ocorrem caso o critério de distância seja modificado. Será que isso pode ser um modelo para recomendação de conteúdos relacionados? Tente encontrar falhas nesse modelo para que possa ser aprimorado.
Ponto médio
Dados dois pontos $A$ e $B$ no espaço euclidiano o ponto médio do segmento $AB$ é um ponto $M$ tal que a distância de $A$ até $M$ é igual a distância de $B$ até $M$, isto é, $$d(A,M)=d(B,M) \qquad(*)$$
Por meio da igualdade $(*)$ é possível concluir que se $A=(a_1,...,a_m)$ e $B=(b_1,...,b_m),$ então o ponto médio de $AB$ é dado por $$M=\left(\frac{a_1+b_1}{2},...,\frac{a_m+b_m}{2}\right)$$
Exemplo: Se $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2,y_2)$ são pontos do plano cartesiano então o ponto médio é calculado por $$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Circunferência
No espaço euclidiano $\mathbb R^2$ a circunferência de centro em $C=(x_0,y_0)$ e raio $r$ é o conjunto de todos os pontos $P=(x,y)$ cuja a distância até o ponto $C$ é igual a $r,$ isto é, $$d(P,C)=r.$$
Assim, sua equação é dada por \begin{equation}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2.\end{equation}
Figura 2: Circunferência de centro em $C$ e raio $r$
Para saber se um ponto $P=(x,y)$ pertence à circunferência basta substituir suas coordenadas na sua equação e verificar se formam uma solução.
Exemplo: A equação $(x-1)^2+(y+2)^2=4$ é de uma circunferência de centro em $C=(1,-2)$ e raio igual a $4$. O ponto $A=(1,0)$ pertence a circunferência, pois suas coordenadas formam uma solução para a equação, isto é,
$$(1-1)^2+(0+2)^2=4.$$ O ponto $B=(2,3)$ não pertence à circunferência, pois $$(2-1)^2+(3+2)^2\neq 4 $$
Problema do circuncentro
Uma empresa deseja instalar uma torre de distribuição de sinal para atender as cidades A, B e C. Faça uma discussão com algum grupo para descobrir qual é o local de instalação da torre de modo que fique a uma mesma distância de cada cidade?
Linha
Azimute
Distância
$A-B$
63.43°
44.7 km
$A-C$
101.31°
51.0 km
$B-C$
-
31.6 km
Esfera
Uma esfera de centro no ponto $C\in\mathbb R^3$ e raio $r$ no espaço euclidiano $\mathbb R^3$ é o conjunto de todos os pontos $X\in\mathbb R^3$ cuja distância até o ponto $C$ é igual a $r$.
Desta maneira, se $X=(x,y,z)$ é um ponto da esfera de centro em $C=(x_0,y_0,z_0)$ tem-se que $$d(X,C)=r,$$ e, consequentemente, obtém-se a equação da esfera dada por $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$
Para saber se um ponto $P=(x,y,z)$ pertence à esfera basta substituir suas coordenadas na sua equação e verificar se formam uma solução.
Elipse
Considere dois pontos $F_1$ e $F_2$ no plano cartesiano e um número real $r>0$ tal que $$r>d(F_1,F_2).$$ Uma elipse de focos $F_1, F_2$ e eixo maior igual a $r$ é o conjunto de todos os pontos $P=(x,y)$ tais que $$d(P,F_1)+d(P,F_2)=r. \qquad(*)$$
O centro da elipse é o ponto médio entre os focos.
Exemplo: Vamos deduzir a equação da elipse de focos $F_1=(-1,-1)$ e $F_2=(1,1)$ e eixo maior igual a 4.
Como todo ponto $P=(x,y)$ pertencente à elipse satisfaz à condição $$d(P,F_1)+d(P,F_2)=4$$ temos que
$$\sqrt{(x+1)^2+(y+1)}+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=4$$
O que vamos fazer é eliminar as raízes para simplificar a expressão, então o primeiro passo é isolar uma dessas raízes quadradas deixando as expressão da forma
no qual iremos obter $$4x+4y-16=-8\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2.}$$
Podemos simplificar a expressão dividindo por 4, donde obtemos $$x+y-4=-2\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}.$$
Perceba que podemos eliminar esta raiz quadrada elevando novamente a expressão ao quadrado, ou seja, $$(x+y-4)^2=(-2\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2})^2,$$ onde obtemos $$x^2+y^2+16+2xy-8x-8y=4(x^2-2x+1+y^2-2y+1)$$ $$\Rightarrow 3x^2+3y^2-2xy-8=0.$$ Assim, deduzimos a equação da elipse.
Hipérbole
Considere dois pontos $F_1$ e $F_2$ no plano cartesiano e um número real $r>0$ tal que $$r < d(F_1,F_2).$$ Uma hipérbole de focos $F_1, F_2$ e eixo igual a $r$ é o conjunto de todos os pontos $P=(x,y)$ tais que $$|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=r. \qquad(*)$$
O centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos.
Exemplo: Vamos deduzir a equação da hipérbole de focos $F_1=(-1,-1)$ e $F_2=(1,1)$ e eixo igual a 1.
Como todo ponto $P=(x,y)$ pertencente à hipérbole satisfaz à condição $$|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=1$$ temos que $$\left|\sqrt{(x+1)^2+(y+1)}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right|=1.$$
Observe que podemos eliminar o módulo fazendo $$\sqrt{(x+1)^2+(y+1)}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \pm1.$$
Da mesma forma como fizemos na dedução da equação de elipse vamos eliminar as raízes para simplificar a expressão, então o primeiro passo é passar uma dessas raízes para o outro lado da igualdade onde teremos $$\sqrt{(x+1)^2+(y+1)}=\pm1+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}.$$
Agora vamos elevar ao quadrado os dois lados da expressão, isto é, fazendo $$\left(\sqrt{(x+1)^2+(y+1)}\right)^2=\left(\pm1+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2)}\right)^2$$ no qual iremos obter $$4x+4y-1=\pm2\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2.}$$
Elevando novamente a expressão ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos $$12x^2+12y^2+32xy-7=0.$$ Assim, deduzimos a equação da hipérbole.
Faremos um estudo mais detalhado da elipse e hipérbole posteriormente quando iniciarmos o estudo das cônicas.
Verifique se o triângulo de vértices $A=(8,2), B=(3,7)$ e $C=(2,1)$ isósceles.
Os pontos $A = (0,0),B = (3,7)$ e $C = (5,-1)$ são vértices de um triângulo. Calcule o comprimento da mediana AM.
Dados pontos $A=(-2,0)$ e $B=(2,0)$ determine o ponto C de modo que o triângulo ABC seja equilátero.
Calcule o perímetro da região poligonal cujos vértices são os pontos $A=(-2,1), B=(0,3), C=(2,3)$ e $D=(-2,-1).$
Verifique quais dos pontos $A=(0,0,3),$ $B=(1,-2,2),$ $C=(0,1,0),$ e $D=( 2,-3,7)$ pertencem à esfera $x^2+(y-1)^2+z^2=9$ e desenhe o gráfico.
Deduza a equação da elipse de focos $F_1=(-2,-1)$ $F_2=(2,1)$ cujo eixo maior é igual a 5.Faça o gráfico.
Deduza a equação da hipérbole de focos $F_1=(1,1)$, $F_2=(4,3)$ eixo igual 3 e, em seguida, e esboce o gráfico.
A força de atração ou repulsão entre duas partículas puntiformes de cargas $q_1$ e $q_2$ é dada, segundo a Lei de Coulomb por $$F=\dfrac{kq_1q_2}{d^2}$$ onde $k$ é a constante dielétrica do vácuo de aproximadmente $9,0\times 10^9 N\cdot m^2/C^2.$ Suponha que um particula esteja na origem do espaço de carga $q=1,0\mu C.$ Determine a região do espaço cuja uma segunda particula de carga $q_2=2,0 \mu C$ exerceria uma força de $72 N$ sobre a outra.
Considere a parábola $y=x^2$ no intervalo $[0,1].$ Podemos calcular seu comprimento considerando a linha poligonal, conforme mostra figura, de modo que ao somarmos o tamanho cada segmento teremos o comprimento aproximado.
Observe na figura uma partição em cinco segmentos que é feita dividindo o intervalo em 5 partes iguais e para cada parte tomamos os pontos da parábola correspondente ao extremo de cada segmento. Obtenha o comprimento aproximado da curva considerando a partição em cinco partes. Discuta com seu grupo o que acontece se fizermos partições cada vez menores e calcule o comprimento aproximado considerando a quantidade de partições acima de 20.
Analisando a figura temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância entre $A$ e $B,$ que chamaremos de $d(A,B).$ Observe que pelo Teorema de Pitágoras temos $$d(A,B)^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$$ o que nos dá a relação $$d(A,B)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$
Considerando os valores na tabela abaixo discuta com alguém um maneira de calcular as coordenadas dos vértices e o perímetro do terreno do terreno.
Observe na figura uma partição em cinco segmentos que é feita dividindo o intervalo em 5 partes iguais e para cada parte tomamos os pontos da parábola correspondente ao extremo de cada segmento. Obtenha o comprimento aproximado da curva considerando a partição em cinco partes. Discuta com seu grupo o que acontece se fizermos partições cada vez menores e calcule o comprimento aproximado considerando a quantidade de partições acima de 20.