Uma superfície de revolução é obtida quando fazemos a rotação de uma curva plana $\alpha$, cahamada de geratriz, em torno de um eixo. Nesta aula as curvas que iremos utilizar serão gráficos de funções. Vejamos alguns exmplos a seguir.
Cone de revolução: Considere o gráfico da função afim $y=x.$
Ao fazer a rotação da reta em torno do eixo $y$ teremos um cone como a superfíce. Esolhemos um ponto arbitrário $P=(x,y)$ pertencente ao gráfico e vamos fazer uma rotação desse ponto em torno do eixo $y.$ Ao fazer essa rotação o ponto $P$ descreve uma trajetória que é uma circunferência de raio $r$ cujo centro será o ponto $C=(0,y_0,0).$ Essa circunferência tem equação $$x^2+z^2=r^2.$$
Note que o raio dessa circunferência é valor da coordenada $x$ e depende de $y$, nesse caso temos $r=x(y)$. A equação do cone é $$x^2+z^2=y^2.$$
Parabolóide de revolução: o parabolóide de revolução é uma superfície obtida da rotação de uma parábola em torno do seu eixo de simetria.
Consideremos o gráfico da parábola $y=x^2.$ Dado um ponto $P=(x,y)$ arbitrário pertencente à parábola e ao rotacionar em torno do eixo $y$ temos a trajetória da circunferência dada por $$x^2+z^2=r^2$$
O raio dessa circunferência é o valor da coordenada $x$ que depende de $y$ ,ou seja, e $r=x(y).$ Considerando $x>0$ podemos escrever $x(y)$ isolando $x$ na função $y=x^2$, onde temos $r=\sqrt{y}$. Agora temos a equação do parabolóide de revolução dada por $$x^2+z^2=y.$$
Elipsóide de revolução: o elipsóide de revolução é obtida da rotação da elipse em torno do seu eixo de focal.
Consideremos a elipse de focos no eixo $x$ de equação $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Ao rotacionar um ponto arbitrário $P=(x,y)$ pertencente à elipse torno do eixo $x$ temos agora trajetória da circunferência de raio $r.$ Assim teremos
$$y^2+z^2=r^2.$$
Como encontrar o raio?
Observe que o raio será o valor da coordenada $y$ do ponto $P$ e depende de $x$, isto é $r=y(x).$ Para obter $y(x)$ isolamos a variavel $y$ da sua equação da elipse considerando apenas a parte positiva do gráfico. Dessa maneira, temos $$y(x)=\sqrt{b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}}.$$
Subtituindo $r=y(x)$ na equação da circunferência obtemos o elipsóide de revoluçã de equação $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.$$
Exemplo: Vamos obter a equação da superfície de revolução gerada pelo gráfico da função $y=e^x$ em torno do eixo $x.$
Qualquer ponto $P=(x,y)$ pertencente ao gráfico gera uma circunferência de equação $$y^2+z^2=r^2.$$ O raio dessa circunferencia é $r=y(x),$ ou seja, $r=e^x.$ S equação da superfície gerada é $$y^2+z^2=e^{2x}.$$
Exemplo: Nesse exemplo vamos obter a equação da superfície de revolução gerada pelo gráfico da função $y=\tan x$ em torno do eixo $x.$ Qualquer ponto $P=(x,y)$ pertencente ao gráfico gera uma circunferência de equação $$y^2+z^2=r^2.$$ O raio dessa circunferencia é $r=y(x),$ ou seja, $r=\tan x.$ S equação da superfície gerada é $$y^2+z^2=\tan^2 x.$$
1. Obtenha a equação do cone obtido da rotação da reta $y=x$ em torno do eixo $x.$
2. Determine a superfície de revolução gera pela curva $y=\cos x$ em trono do eixo $x$.
3. Considere a hipérbole $$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$$
Obtenha superfície de revolução gerada pela rotação da hipérbole em torno do eixo $y$. Essa superfície é chamada de hiperbolóide.
Calcule a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da hipérbole em torno do eixo focal. Essa superfície é conhecida como hiperbolóide de duas folhas.
4. Faça uma rotação da reta $x=3$ em torno do eixo $y$ para obter a equação de um clindro. Esboce o gráfico
