Nesta aula você irá aprender como calcular a distância entre ponto e reta no Espaço Euclidiano.

Calcule a distância entre um ponto e uma reta em 3 passos.

Considere um reta $r$ em $\mathbb R^2$ e um ponto $P=(x_0,y_0)$ que não pertence à reta. Para calcular a distância entre $P$ e $r$, que denotaremos por $d(P,r),$ é natural pensarmos na seguinte construção:

Passo 1: traçar uma reta $t$ perpendicular à reta $r$ passando pelo ponto $P$ e encontrar a sua equação;

Passo 2: calcular o ponto de interseção da reta $t$ com a reta $r$, chamado de $I$;

Passo 3: calcular a distância entre os pontos $P$ e $I$.

Exemplo: Considere a reta $y=2x-3.$ Para calcular a distância entre o ponto $P=(-4,1)$ e a reta vamos seguir os mesmos passos descritos acima.

Passo 1: temos que encontrar a equação da reta $t$ que passa pelo ponto $P$ e seja perpendicular à reta $r.$ A reta $r$ tem equação geral $$2x-y=3,$$ e observe que por meio de sua equação geral podemos identificar o vetor perpendicular à reta $r$ que é $w=(2,-1).$ Como a reta $t$ é perpendicular à reta $r$ então para encontrar a equação geral da reta $t$ precisamos de um vetor perpendicular que é o vetor $u=(1,2)$ (você concorda com isso?). Logo a equação geral da reta $t$ será do tipo $$x+2y=d$$ como ela passa pelo ponto $P=(-4,1),$ podemos substituir suas coordenadas na equação para calcular o valor de $d$ e então a reta $t$ tem equação geral dada por $$x+2y=-2.$$

Passo 2: encontrar a interseção da reta $t$ com a reta $r.$ Para isso basta consideramos suas equações e resolver o seguinte sistema $$2x-y=3 \quad (1)$$ $$x+2y=-3 \quad (2).$$ Para resolver este sistema podemos multippcar a equação (1) por dois e, em seguida, somá-las para cancelar a variável $y$. Assim obtemos $x=\frac{4}{5}.$ Substituindo este valor de $x$ em uma das equação obtemos $y=-\frac{7}{5}.$ Portanto, o ponto de interseção entre as retas é o ponto $$I=\left(\frac{4}{5},-\frac{7}{5}\right).$$

Passo 3: calcular a distância entre os pontos $P$ e $I$ que é dada por $$d(P,I)=\sqrt{\left(\frac{4}{5}+4\right)^2+\left(-\frac{7}{5}-1\right)^2}.$$ Logo $d(P,I)=\sqrt{\frac{720}{25}}$ que aproximadamente igual à 5,37.

Calcule a distância entre um ponto e uma reta em apenas 1 passo utilizando a fórmula apresentada a seguir.

Fórmula da distância entre um ponto e uma reta

A distância entre um ponto $P=(x_0,y_0)$ e uma reta $$y=mx+k$$ pode ser calculada por meio da fórmula $$d(P,r)=\frac{|mx_0+k-y_0|}{\sqrt{1+m^2}}.$$

Desafio!

Observe a semelhança entre os triângulos da figura abaixo e tente demonstrar a fórmula da distância entre o ponto $P$ e a reta $r$.

Como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço $\mathbb R^3$?

Parábola

Considere um ponto $F$ e uma reta $r$ em $\mathbb R^2$. Uma parábola de foco em $F$ e reta diretriz $r$ é o conjunto de todos os pontos $P=(x,y)$ tais que $$d(P,r)=d(P,F).$$

Observe que para todo ponto da parábola a distância até o foco é igual a distância até a reta diretriz.

O eixo de simetria da parábola é a reta que passa pelo seu foco e é perpendicular a reta diretriz. O ponto de interseção do eixo de simetria com a parábola é chamado vértice da parábola.

Faremos agora alguns exemplos para entender melhor como deduzir a equação de uma parábola quando conhecemos o seu foco e sua reta diretriz.

Exemplo: Vamos deduzir a equação da parábola de foco $F=(0,1)$ e reta diretriz $y=-1.$ Para fazer isto utilizamos a expressão $$d(P,r)=d(P,F)$$ $$\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-1)^2}=|-1-y|$$ elevando ao quadrado $$\Rightarrow x^2+(y-1)^2=(-1-y)^2$$ $$\Rightarrow x^2+y^2-2y+1=1+2y+y^2$$ $$\Rightarrow x^2=4y$$ $$\Rightarrow y=\frac{x^2}{4}$$

Exemplo: Deduza a equação da parábola de foco $$F=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ e reta diretriz $$y=-x-\sqrt{2}.$$

Vamos utilizar a expressão $$d(P,r)=d(P,F).$$ $$\Rightarrow \frac{|-x-\sqrt{2}-y|}{\sqrt{2}}=\sqrt{\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(y-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}$$ elevando ao quadrado $$\Rightarrow \quad \frac{(-x-\sqrt{2}-y)^2}{2}=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(y-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
$$\Rightarrow \quad \frac{x^2+2+y^2+2\sqrt{2}x+2xy+2\sqrt{2}y}{2}$$ $$=x^2-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}+y^2-\sqrt{2}y+\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow \quad x^2+2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2xy$$ $$=2x^2-2\sqrt{2}x+1+2y^2-2\sqrt{2}y+1$$ Logo a equação da parábola será $$x^2+y^2-2xy-4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y=0.$$

Exemplo: A equação da parábola de foco $F=\left(-\dfrac{1}{16},\dfrac{\sqrt{3}}{16}\right)$ e reta diretriz $4x-4\sqrt{3}y=1$ é $$3x^2+y^2+x-\sqrt{3}y+2\sqrt{3}xy=0.$$

Exercícios

1. Calcule a distância entre o ponto $P=(-2,1)$ e a reta que passa pelo ponto $A=(1,-1)$ na direção do vetor $w=(1,2)$.

2. Considere o plano $\alpha$ de equação $2x-y+z=2$ e o ponto $A=(2,3,3).$ Calcule a interseção da reta perpendicular ao plano $\alpha$ que passo pelo ponto $A$ com o plano. Observe que a distância entre o ponto $A$ e o ponto de interseção é igual a distância entre o ponto $A$ e o plano.

3. Considere as retas paralelas $y=2x-1$ e $y=2x+3$. Calcule a distância entre as retas.

4. Calcule a distância entre a reta $\gamma(t)=(t,2-t,1+2t)$ e o ponto $P=(2,4,1).$

5. Deduza a equação de uma parábola de foco $F=(1,1)$ e vértice $(0,0)$

6. Deduza a equação de uma parábola com vértice $V=(6,-3)$ e reta diretriz $3x-5y+1=0.$

7. Deduza a equação de uma parábola com vértice $V=(2,1)$ e reta diretriz $x+y-1=0.$