Calcule a distância entre um ponto e um plano em 3 passos.

Considere um plano $\alpha$ em $\mathbb R^3$ e um ponto $P=(x_0,y_0,z_0)$ que não pertence ao plano. Para calcular a distância entre $P$ e $\alpha$, que denotaremos por $d(P,\alpha),$ seguimos os passos à seguir:

Exemplo: Calcule a distância entre o ponto $P=(1,1,-1)$ e o plano $2x+y-z=16$.

Passo 1: temos que encontrar a equação da reta $t$ que passa pelo ponto $P$ e seja perpendicular ao plano. Lembrando que para obter a equação da reta precisamos de seu vetor diretor, e como a reta é perpendicular ao plano o seu vetor diretor é o vetor $n=(2,1,-1).$ A equação paramétrica da reta $t$ será $$x=1+2t$$ $$y=1+t$$ $$z=-1-t$$

Passo 2: encontrar a interseção da reta $t$ com o plano. Substituímos as coordenadas $x,y$ e $z$ na equação do plano. Assim, temos $$2(1+2t)+(1+t)-(-1-t)=16$$ $$\Rightarrow 4+6t=16$$ $$\Rightarrow t=2$$ A reta intersecta o plano quando $t=2$, então o ponto de interseção é $$I=(5,3,-3).$$

Passo 3: calcular a distância entre os pontos $P$ e $I$ que é dada por $$d(P,I)=\sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2+(-3+1)^2}$$ $$d(P,I)=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$ Logo a distância entre o ponto e o plano é igual à $2\sqrt{6}.$

Fórmula da distância entre um ponto e um plano

A distância entre um ponto $P=(x_0,y_0,z_0)$ e um plano $\alpha$ de equação $$ax+by+cz=d$$ pode ser calculada por meio da fórmula $$d(P,\alpha)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

Não iremos demonstrar esta fórmula aqui nesta aula, mas o leitor interessado pode pesquisar a no livro
REIS, G. L., SILVA, V. V., Geometria Analítica, Ed. LTC, 2ª Edição.

Vamos aplicar esta fórmula para calcular a distância entre o ponto $P=(1,1,-1)$ e o plano $2x+y-z=16$ do exemplo apresentado. $$d(P,\alpha)=\frac{|2\cdot1+1\cdot1+1\cdot1-16|}{\sqrt{4+1+1}}$$ $$\Rightarrow d(P,\alpha)=\frac{|-12|}{\sqrt{6}}$$ $$\Rightarrow d(P,\alpha)=\frac{12}{\sqrt{6}}$$ $$\Rightarrow d(P,\alpha)=2\sqrt{6}$$