A soma de dois vetores $u=(x_1,...,x_n)$ e $v=(y_1,...,y_n) \in \mathbb R^n$ é definida por $$u+v=(x_1+y_1,...,x_n+y_n).$$
Exemplo: A soma dos vetores $u=(3,-4,5)$ e $v=(4,-3,0)$
é o vetor $$u+v=(7,-7,5).$$
Exemplo: A soma dos vetores $u=(3,5),$ $v=(3,-1)$ e
$w=(0,2)$ é o vetor $$u+v+w=(6,6).$$
Multiplicação por um escalar
A multiplicação de um vetor $u=(x_1,...,x_n)$ por um escalar $t\in\mathbb R$ é definida por
$$t\cdot u=(tx_1,...,tx_n).$$
Exemplo: A multiplicação do escalar $t=2$ pelo vetor $u=(1,-2,1)$ é o vetor $$2\cdot u=(2,-4,2).$$
Exemplo: O vetor $u=(9,-3,3)$ é um múltiplo do vetor $v=(-3,1,-1)$, pois $$u=-3\cdot v.$$
Representação geométrica da soma
Dados vetores $u$ e $v$ no espaço euclidiano, para representar geometricamente o vetor $u+v$ traçamos uma reta paralela ao vetor $v$ passando pela extremidade de $u$ e uma reta paralela ao vetor $u$ passando pela extremidade de $v$ e em seguida marcamos o ponto de interseção dessas retas. O vetor $u+v$ terá sua origem em O e sua extremidade no ponto de interseção dessas retas, em outras palavras, será a diagonal do paralelogramo determinado por $u$ e $v$.
Figura 1: Soma de vetores
Para representar o vetor $u-v$ basta traçar um segmento orientado com a origem na extremidade de $v$ e a extremidade coincidindo com a extremidade de $u$ formando um triângulo.
Figura 2: Vetor $u-v$.
Representação geométrica da multiplicação por um escalar
O vetor $\lambda \cdot v$ é representado sobre uma reta que contém o vetor $v$ e,além disso, terá o mesmo sentido se $\lambda >0$ e sentido contrário se $\lambda<0.$ Além da operação de multiplicação por um escalar poder mudar o sentido do vetor pode, também, mudar o seu comprimento no caso em que $0<\lambda<1$ o comprimento diminui e caso $\lambda>1$ o comprimento aumenta. Isto será demonstrado no estudo de norma de vetores.
Figura 3: $\lambda<0$
Figura 4: $0<\lambda<1$
Figura 5: $1<\lambda$
Vetores paralelos
Dizemos que os vetores $v,w\in \mathbb R^n$ são paralelos se existe um $t\in\mathbb R$ tal que $w=t\cdot v.$
Exemplo: Para saber se os vetores $u=(3,-1,2)$ e $v=(1,-2,2)$ são paralelos devemos verificar se existe um número real $t$ de tal forma que
$$t\cdot u=v$$ Sendo assim, temos $$(3t,-t,2t)=(1,-2,2).$$ Então é necessário que
$$3t=1$$ $$-t=-2$$ $$2t=2$$
Observe que para cada igualdade acima temos um valor diferente para $t$ e portanto é impossível obter um número real $t$ tal que $$t\cdot u=v$$ portanto os vetores não são paralelos.
Exemplo: Para os vetores $u=(3,-1,2)$ e $v=(-12,4,-8)$ vamos verificar se existe um número real $t$ de tal forma que
$$t\cdot u=v$$ Para isto temos que $$(3t,-t,2t)=(-12,4,8).$$ Então é necessário que
$$3t=-12$$ $$-t=4$$ $$2t=-8$$
Para cada igualdade acima temos $t=-4$ e portanto os vetores são paralelos.
Se os vetores $u=(x_1,y_1,z_1)$ e $v=(x_2,y_2,z_2)$ são paralelos podemos afirmar que $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{y_1}{y_2}$ quando $x_2,y_2$ e $z_2$ são diferentes de zero? A resposta dessa pergunta é "sim". Agora pense o porquê disso.
Combinação Linear
Seja $V$ um espaço vetorial. Dizemos que um vetor $v\in V$ é uma combinação linear dos vetores $v_1,v_2,...,v_s \in V$ se existem $\lambda_1,...,\lambda_s \in\mathbb R$ tais que
$$v=\lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2+\cdots+\lambda_s\cdot v_s.$$
Exemplo: Seja $v=(1,-2,1) \in\mathbb R^3.$ Temos que
$$v=1\cdot(1,0,0)-2\cdot(0,1,0)+1\cdot(0,0,1),$$
então $v$ é uma combinação linear dos vetores
$\overrightarrow{i}=(1,0,0),$ $\overrightarrow{j}=(0,1,0)$ e
$\overrightarrow{k}=(0,0,1).$
Exemplo: Seja $v=(x,y,z)$ um vetor qualquer em $\mathbb R^3.$ Temos que
$$v=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1).$$
Qualquer vetor de $\mathbb R^3$ é uma combinação linear dos vetores $\vec{i}=(1,0,0),$ $\vec{j}=(0,1,0)$ e $\vec{k}=(0,0,1).$ Podemos dizer que os vetores $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são geradores do espaço $\mathbb R^3.$ O vetor $v$ pode, também, ser escrito na forma $$v=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.$$ Dado o vetor $v=(2,-3,-4),$ escrevemos $$v=2\vec{i}-3\vec{j}-4\vec{k}.$$
Exercícios de fixação
Escreva o vetor $w=(2,-1)$ como combinação linear dos vetores $v=(1,2)$ e $u=(2,1)$.
Verifique se os vetores $u=\left(\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{9}\right)$ e $v=\left(3,\dfrac{5}{6}\right)$ são paralelos.
Esboce os vetores $u,$ $v,$ $u+v$ e $u-v$ onde $u=(1,2)$ e $v=(-2,4)$.
Determine uma combinação linear entre os vetores $v_1=(1,1,1)$, $v_2=(2,-1,0)$ e $v_3=(-2,-1,-1)$ para obter o vetor $w=(0,1,1).$
Qual é a estratégia utilizada para verificar quando dois vetores são paralelos?
Dados vetores $u=(2,3)$ e $v=(1,x)$ determine o valor de x para que u e v sejam paralelos.
Dado um triângulo ABC mostre que o segmento que une os pontos médios de $AC$ e $BC$ é paralelo ao lado $AB.$
Obtenha as coordenadas da força resultante do diagrama à seguir:
