Soma de Vetores

A soma de dois vetores u=(x1,...,xn) e v=(y1,...,yn)∈Rn é definida por u+v=(x1+y1,...,xn+yn).

Exemplo: A soma dos vetores u=(3,−4,5) e v=(4,−3,0) é o vetor u+v=(7,−7,5).

Exemplo: A soma dos vetores u=(3,5), v=(3,−1) e w=(0,2) é o vetor u+v+w=(6,6).

Multiplicação por um escalar

A multiplicação de um vetor u=(x1,...,xn) por um escalar t∈R é definida por t⋅u=(tx1,...,txn).

Exemplo: A multiplicação do escalar t=2 pelo vetor u=(1,−2,1) é o vetor 2⋅u=(2,−4,2).

Exemplo: O vetor u=(9,−3,3) é um múltiplo do vetor v=(−3,1,−1), pois u=−3⋅v.

Representação geométrica da soma

Dados vetores u e v no espaço euclidiano, para representar geometricamente o vetor u+v traçamos uma reta paralela ao vetor v passando pela extremidade de u e uma reta paralela ao vetor u passando pela extremidade de v e em seguida marcamos o ponto de interseção dessas retas. O vetor u+v terá sua origem em O e sua extremidade no ponto de interseção dessas retas, em outras palavras, será a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

Soma de vetores
Figura 1: Soma de vetores

Para representar o vetor u−v basta traçar um segmento orientado com a origem na extremidade de v e a extremidade coincidindo com a extremidade de u formando um triângulo.

Soma de vetores
Figura 2: Vetor u−v.


Representação geométrica da multiplicação por um escalar

O vetor λ⋅v é representado sobre uma reta que contém o vetor v e,além disso, terá o mesmo sentido se λ>0 e sentido contrário se λ<0. Além da operação de multiplicação por um escalar poder mudar o sentido do vetor pode, também, mudar o seu comprimento no caso em que 0<λ<1 o comprimento diminui e caso λ>1 o comprimento aumenta. Isto será demonstrado no estudo de norma de vetores.

Vetor múltiplo de v
Figura 3: λ<0
Vetor múltiplo de v
Figura 4: 0<λ<1
Vetor múltiplo de v
Figura 5: 1<λ

Vetores paralelos

Dizemos que os vetores v,w∈Rn são paralelos se existe um t∈R tal que w=t⋅v.

Exemplo: Para saber se os vetores u=(3,−1,2) e v=(1,−2,2) são paralelos devemos verificar se existe um número real t de tal forma que t⋅u=v Sendo assim, temos (3t,−t,2t)=(1,−2,2). Então é necessário que 3t=1 −t=−2 2t=2 Observe que para cada igualdade acima temos um valor diferente para t e portanto é impossível obter um número real t tal que t⋅u=v portanto os vetores não são paralelos.



Exemplo: Para os vetores u=(3,−1,2) e v=(−12,4,−8) vamos verificar se existe um número real t de tal forma que t⋅u=v Para isto temos que (3t,−t,2t)=(−12,4,8). Então é necessário que 3t=−12 −t=4 2t=−8 Para cada igualdade acima temos t=−4 e portanto os vetores são paralelos.

Se os vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) são paralelos podemos afirmar que x1x2=y1y2=y1y2 quando x2,y2 e z2 são diferentes de zero? A resposta dessa pergunta é "sim". Agora pense o porquê disso.

Combinação Linear

Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um vetor v∈V é uma combinação linear dos vetores v1,v2,...,vs∈V se existem λ1,...,λs∈R tais que v=λ1⋅v1+λ2⋅v2+⋯+λs⋅vs.

Exemplo: Seja v=(1,−2,1)∈R3. Temos que v=1⋅(1,0,0)−2⋅(0,1,0)+1⋅(0,0,1), então v é uma combinação linear dos vetores i→=(1,0,0), j→=(0,1,0) e k→=(0,0,1).



Exemplo: Seja v=(x,y,z) um vetor qualquer em R3. Temos que v=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1). Qualquer vetor de R3 é uma combinação linear dos vetores i→=(1,0,0), j→=(0,1,0) e k→=(0,0,1). Podemos dizer que os vetores i→, j→ e k→ são geradores do espaço R3. O vetor v pode, também, ser escrito na forma v=xi→+yj→+zk→. Dado o vetor v=(2,−3,−4), escrevemos v=2i→−3j→−4k→.

Exercícios de fixação

  1. Escreva o vetor w=(2,−1) como combinação linear dos vetores v=(1,2) e u=(2,1).
  2. Verifique se os vetores u=(25,19) e v=(3,56) são paralelos.
  3. Esboce os vetores u, v, u+v e u−v onde u=(1,2) e v=(−2,4).
  4. Determine uma combinação linear entre os vetores v1=(1,1,1), v2=(2,−1,0) e v3=(−2,−1,−1) para obter o vetor w=(0,1,1).
  5. Qual é a estratégia utilizada para verificar quando dois vetores são paralelos?
  6. Dados vetores u=(2,3) e v=(1,x) determine o valor de x para que u e v sejam paralelos.
  7. Dado um triângulo ABC mostre que o segmento que une os pontos médios de AC e BC é paralelo ao lado AB.
  8. Obtenha as coordenadas da força resultante do diagrama à seguir: Diagrama de forças.