Equação da reta no plano

A equação da reta no plano cartesiano pode ser encontrada de várias maneiras. Uma das maneiras de obter a equação de uma reta é a sua forma cartesiana que, provavelmente, você já deve ter visto no ensino fundamental e se não viu, ou não lembra, não tem problema. Veremos nesta aula algumas formas de obter a equação da reta em $\mathbb R^2$ a partir de alguns problemas propostos.

Problema 1

Considere os pontos $A=(2,1)$ e $B=(-2,4).$ Como podemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ ?

Para encontrar a equação da reta considere um ponto $P=(x,y)$ sobre a reta procurada e,então, vamos analisar como as coordenadas desse ponto se relacionam. Observe na figura a seguir que os triângulos $ABC$ e $APQ$ são semelhantes e então temos que $$-\frac{3}{4}=\frac{y-1}{x-2}.$$ Sendo assim, temos que $$3x+4y=10.$$ Concluímos então que qualquer ponto que esteja sobre essa reta suas coordenadas se relacionam por meio dessa expressão matemática que é chamada equação da reta.

Problema 2

Como podemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos $A=(-2,1)$ na direção do vetor $v=(1,-1)$?

Utilizando o raciocínio análogo ao Problema 1, vamos considerar um ponto $P=(x,y)$ sobre a reta procurada e analisar como as coordenadas desse ponto se relacionam. Observe que o vetor $\overrightarrow{AP}$ é paralelo ao vetor diretor $v$, e então deve existir um número real $t$ tal que $$\overrightarrow{AP}=tv.$$ Escrevendo em coordenadas temos $$(x+2,y-1)=(t,-t).$$ Daí, temos que $$x=2+t \qquad \qquad y=1-t. \qquad \qquad (*)$$ Assim, concluímos que para cada ponto da reta suas coordenadas são calculadas em função de $t$ conforme obtido em $(*).$

Observe também que podemos somar $x$ e $y$ e obter outra relação equivalente dada pela equação $$x+y=3$$

Problema 3

Dado um ponto $A=(-3,2)$ e um vetor $n=(1,3)$ de que maneira podemos deduzir a equação da reta que passa pelo ponto $A$ e é perpendicular ao vetor $n$?

Se considerarmos que $P=(x,y)$ é um ponto da reta então podemos observar que o vetor $\overrightarrow{AP}$ é perpendicular ao vetor $n$ e então o produto escalar entre eles é igual a zero, isto é, $$\overrightarrow{AP}\cdot n =0 .$$ Logo, $$(x+3,y-2)\cdot (1,3)=0,$$ daí temos $$x+3y=3.$$ Concluímos então que se um ponto está sobre a sua reta, então suas coordenadas se relacionam conforme a expressão obtida, daí temos a equação da reta.

Problema 4

Considere os pontos $P=(x,y)$ tal que suas coordenadas se relacionam por uma expressão linear $$ax+by=c.$$ Será que podemos dizer que que esses pontos estão sobre uma reta? A resposta é sim! Para facilitar suponha que a equação seja $$x-3y=2$$ de que maneira podemos verificar se esses pontos formam uma reta? Discuta esse problema com seu colegas para mostrar esse fato.

Equação geral da reta

O conjunto dos pontos $P=(x,y)$ tais que $$ax+by=d$$ formam uma reta. Portanto, chamamos essa expressão de equação geral da reta. Dada a equação geral de uma reta podemos identificar a partir dos coeficientes de $x$ e $y$ as coordenadas do vetor perpendicular à reta, a saber $n=(a,b).$

Equação cartesiana

A equação de uma reta em $\mathbb R^2$ escrita na forma de $$y=mx+k$$ é chamada de equação cartesiana.. Na equação cartesiana da reta chamamos $m$ de coeficiente angular da reta e $k$ é chamada de coeficiente linear da reta.

Dada a equação geral da reta escrita na forma $$ax+by=d$$ podemos escrever na forma cartesiana isolando a coordenada $y$ deixando-a em função da coordenada $x.$

Exemplo: A equação $y=-3x+1$ é uma reta com coeficiente angular igual a -3. Observe que os pontos $A=(1,-2)$ e $B=(0,1)$ pertencem a reta. Podemos esboçar o gráfico desta reta colocando os pontos $A$ e $B$ no plano cartesianao e traçar uma reta passando por $A$ e $B$.

Exemplo: Para esboçar o gráfico da reta $y=-x+1$ precisamos conhecer dois pontos quaisquer desta reta. Então basta procurarmos dois pontos cujas coordenadas formam uma solução para sua equação. Para fazer isto basta escolher um valor para $x$, substituir na sua equação e calcular o valor de $y$. Para encontrar um ponto $A$ pertencente à reta podemos escolher $x=-1$ e assim obtemos o valor $y=2$. Logo o ponto $A=(-1,2)$. Para encontrar outro ponto $B$ vamos escolher $x=0$ e então obtemos $y=1.$ Agora podemos esboçar o gráfico como na figura a seguir

A escolha para os valores de $x$ são arbitrárias, você pode escolher quaisquer outros valores e obter pontos diferentes. Faça o gráfico escolhendo pontos diferentes.

O coeficiente angular é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo $x$. Observe que este coeficiente está relacionado com a inclinação da reta. Veja a figura.

Considere os pontos $A=(x_a,y_a)$ e $B=(x_b,y_b)$ e queremos encontrar a equação da reta $r$ que contém $A$ e $B$;

Observe na figura que para qualquer ponto $P=(x,y)$ pertencente a reta os triângulos $ABB'$ $APP'$ são semelhantes e, portanto, temos que $$\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}=\frac{y-y_a}{x-x_a} \qquad (2)$$

Após simplificarmos a expressão (2) obteremos $$y=\left(\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}\right)x+\left(\frac{x_by_a-y_bx_a}{x_b-x_a}\right). \qquad (3)$$

Observe da figura que o número $$\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}$$ é exatamente a tangente do ângulo entre a reta $r$ e o eixo $x$. Se você comparar a equação (1) com a equação $(3)$ poderá concluir que $$m=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}.$$

Exemplo: Considere os pontos $B=(3,1)$ e $C=(5,3)$ e queremos encontrar a equação da reta $r$ que contém $B$ e $C$;

Para qualquer ponto $P=(x,y)$ pertencente a reta os triângulos $BCC'$ $BPP'$ são semelhantes e, portanto, temos que $$\frac{3-1}{5-3}=\frac{y-1}{x-3}$$

A equação da reta é $$y=x-2$$

Observe na figura que a tangente do ângulo entre a reta $r$ e o eixo das abscissas é igual a 1.

Aplicações

Um fabricande de móveis fabrica apenas cadeira e mesas. Em cada cadeira produzida o lucro é de 450,00 reais e cada meso produzida o lucro é de 800,00 reais. Sendo assim, definimos $x_1$ a quantidade de cadeiras a serem produzida e $x_2$ a quantidade de mesas a serem produzidas e então seu lucro pode ser escrito pela expressão $$L=450x_1+800x_2$$ Cada cadeira produzida e utiliza-se 5 unidades de madeira e 10 horas de trabalho. Para cada mesa produzida utiliza-se 20 unidades de madeira e e 15 horas de trabalho. Supondo que há disponibilidade de 400 unidades de madeira e total de horas disponíveis para produção é de 450h o objetivo é determinar quantas cadeiras e mesas devem ser produzidas de modo que o lucro do fabricante seja máximo. Nesse problema uma solução é um par $S=(x_1,x_1)$ que dê o lucro máximo cujas coordenadas satisfaçam as restrições $$5x_1+20x_2\le 400$$ $$10x_1+15x_2\le 450$$ onde $x_1, x_2\ge 0.$ Nesse exemplo um bom conhecimento de geometria ajuda na interpretação e resolução do problema, pois cada uma desses restrições possui uma interpretação geometrica que pode ser esboçada no plano cartesiano.

Na primeira restrição queremos o conjunto de ponto cujas coordenadas satisfaçam $$5x_1+20x_2\le 400.$$ O que sabemos é que $5x_1+20x_2 = 400$ é a equação geral de uma reta e essa reta separa plano em duas regiões uma região que está acima da reta e outra que está abixo da reta. Temos então que os pontos que satisfazem a desigualdade é uma dessas regiões então para sber qual das regiões estamos interessado basta fazer o teste com um ponto. Por exemplo, vamos testar para um ponto $A=(0,0)$ que está abaixo da reta e ao substituirmos na equação obtemos $$5\cdot 0 + 20\cdot 0 = 0 \le 400.$$ Logo, todos os pontos que estão abaixo da reta satisfazem a primeira restição do problema.

Na segunda restrição fazemos da mesma forma, testamos um ponto em uma das regiões do plano separada pela reta $$10x_1+15x_2\le 450.$$ Para isso vamos testar o ponto $A=(0,0)$ e então temos $$10\cdot 0+15\cdot 0 = 0\le 450.$$ Sendo assim, a segunda restrição é toda região que está abaixo da reta.

Observe que como $x_1$ e $x_2$ representam a quantidade de cadeiras e mesas fabricada então devem ser positivas. Sendo assim, as restrições do nosso problema nos dá a região poligonal no qual encontramos a solução ótima do problema.

Para encontrar o ponto $I$ obtido da interseção entre as duas retas basta igualarmos suas equações. Reescrevendo na forma cartesiana temos $$x_2=-\frac{1}{4}x_1+20$$ e $$x_2=-\frac{10}{15}x_1+30$$ Sendo assim, temos $$-\frac{1}{4}x_1+20=-\frac{10}{15}x_1+30$$ o que nos dá que $x_1=24$ e consequentemente $x_2= 16.$ Logo, o ponto de interseção entre as retas é $$I=(24,16).$$