A elipse pode tem a sua equação na forma reduzida quando:
1. O centro esteja na origem;
2. O focos estejam simultaneamente ou sobre o eixo $x$ ou sobre o eixo $y$.
A equação da elipse na forma reduzida nos permite esboçar o seu gráfico mais rapidamente e identificar os vértices e os focos.
Considere a elipse, de focos no eixo $x$ dados por $F_1=(-c,0)$ e $F_2=(c,0)$ e eixo maior igual a $r$.
Nesse caso vamos considerar os vértices no eixo $x$ dessa elipse como sendo os pontos $A_1=(-a,0)$ e $A_2=(a,0)$ e os vértices do eixo $y$ como sendo os pontos $B_1=(0,b)$ e $B_2=(0,-0)$. Temos que o eixo maior dessa elipse é igual a $2a.$
Assim, podemos deduzir a sua equação na forma reduzida a partir de sua deinfição $$d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a,$$ onde teremos $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
Observe analisando a figura abaixo que a distância do vértice $B_1$ até o foco $F_2$ é a mesma distância até o foco $F_1$, isto é, $$d(B_1,F_2)=d(B_1,F_1). \quad (1)$$
Por outro lado, como o vértice $B_1$ é um ponto da elipse, então cumpre com a seguinte condição $$d(B_1,F_1)+d(B_1,F_2)=r=2a. \quad(2) $$
As igualdades (1) e (2) nos permitem concluir que $$d(B_1,F_1)=a.$$ Com esta conclusão, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, como mostra a figura abaixo, onde obtemos $$c^2=a^2-b^2.$$
Sendo assim, podemos encontrar as coordenadas do foco da elipse utilizando a relação encontrada acima.
Quando os focos $F_1=(0,c)$ e $F_2=(0,-c)$ estão sobre o eixo $y$ consideramos os vértices $A_1=(-a,0)$ e $A_2=(a,0)$, $B_1=(0,b)$ e $B_2=(0,-0)$ obtemos o eixo maior da elipse igual a $2b.$ Ao deduzir a sua equação na forma reduzida a partir de sua definição $$d(P,F_1)+d(P,F_2)=2b,$$ obtemos $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
Para obter uma relação entre $a, b,$ e $c$ podemos utilizar um raciocínio análogo para deduzir que $d(A_2,F_1)=b$.
Pelo Teorema de Pitágoras obtemos a relação $$c^2=b^2-a^2.$$
Exemplo: A elipse de equação $$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$$ tem os vértices $A_1=(-\sqrt{6},0),$ $A_2=(\sqrt{6},0),$ $B_1=(0,2)$ e $B_2=(0,-2)$ e os focos, nos quais estão sobre o eixo $x$, são os pontos $$F_1=(-\sqrt{2},0) \quad F_2=(\sqrt{2},0).$$ Agora podemos esboçar o gráfico da elipse com todos os seus elementos.
Exemplo: A elipse $$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{13}=1$$ tem os vértices $A_1=(-\sqrt{5},0),$ $A_2=(\sqrt{5},0),$ $B_1=(0,\sqrt{13})$ e $B_2=(0,\sqrt{13})$ e os focos são os pontos $$F_1=(0,8) \quad F_2=(0,-8).$$
A hipérbole tem a sua equação na forma reduzida quando:
1. O centro esteja na origem;
2. O focos estejam sobre o eixo $x$ ou sobre o eixo $y$.
Considere uma hipérbole de focos no eixo $x$ dados por $F_1=(-c,0)$ e $F_2=(c,0)$ e eixo igual a $r$ como mostra a figura abaixo.
A equação da hipérbole na forma reduzida com os focos no eixo $x$ é dada $$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1.$$
Note que os vértices da hipérbole são os pontos em que a coordenada $y=0$, então substiuindo na equação obtemos $x=\pm a$, então as suas coordenadas serão $A_1=(-a,0)$ e $A_2=(a,0).$ Como o eixo é a distância entre os vértices, então concluímos que $r=2a.$
Para encontramos as coordenadas dos focos da hipérbole quando sua equação está na forma reduzida, utilizamos a seguinte relação $$c^2=a^2+b^2.$$
A hipérbole de focos no eixo $y$ cujos focos são $F_1=(0,c)$ e $F_2=(0,-c)$ e eixo igual a $r$ como, mostra a figura, tem a equação na forma reduzida dada por $$-\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$$
Note que os vértices da hipérbole neste caso são os pontos em que a coordenada $x=0$, então $B=(0,b)$ e $B_2=(0,-b)$ e, além disso, $r=2b.$
Para encontramos as coordenadas dos focos utilizamos a mesma relação $$c^2=a^2+b^2.$$
A parábola terá sua equação na forma reduzida quando:
1. O vértice esteja na origem;
2. O foco esteja sobre o eixo $x$ ou sobre o eixo $y$.
Considere um parábola de foco no eixo $y$ dado por $F=(0,c)$ e reta diretriz $y=-c.$ Observe que o vértice desta parábola está na origem e, portanto, podemos deduzir sua equação na forma reduzida onde obtemos $$y=\frac{1}{4c}x^2.$$
Com a equação na forma reduzida, podemos identificar facilmente as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz analisando o coeficiente de $x^2.$
Exemplo: Considere a parábola $y=3x^2.$
Como $$\frac{1}{4c}=3 \Rightarrow c=\frac{1}{12}.$$ Podemos concluir então que o foco da parábola é o ponto $F=(0,1/12)$ e reta diretriz $y=-\frac{1}{12}.$
Exemplo: A parábola $$y=\frac{x^2}{8}$$ tem foco $F=(0,1/12)$ e reta diretriz $y=-2.$
