Vetores no Espaço Euclidiano
Os pontos $A=(x_1,...,x_n)$ e $B=(y_1,...,y_n)$ em $\mathbb R^n$ definem um vetor $\overrightarrow{AB}$ em $\mathbb R^n$ no qual denotamos por $$\overrightarrow{AB}=(y_1-x_1,...,y_n-x_n).$$
Os pontos $A=(x_1,...,x_n)$ e $B=(y_1,...,y_n)$ em $\mathbb R^n$ definem um vetor $\overrightarrow{AB}$ em $\mathbb R^n$ no qual denotamos por $$\overrightarrow{AB}=(y_1-x_1,...,y_n-x_n).$$
Exemplo: No espaço $\mathbb R^3$ o vetor determinado pelos pontos $A=(1,1,2)$ e $B=(4,3,3)$ é dado por $$\overrightarrow{AB}=(3,2,1).$$ Dizemos também que os números 3,2 e 1 são as coordenadas do vetor $\overrightarrow{AB}$
Exemplo: Considere os pontos $A=(1,2),$ $B=(3,4),$ $C=(1,1)$ e $D=(4,1).$ Assim, o vetor $\overrightarrow{AB}=(2,2)$ e o vetor $\overrightarrow{CD}=(3,0).$
Esboce os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ no plano cartesiano.
O vetor $\overrightarrow{0}=(0,0,...,0) \in \mathbb R^n$, onde a origem e a extremidade se coincidem é chamado de vetor nulo.
Definição: Dois vetores $\overrightarrow{AB}=(x_1,...,x_n)$ e $\overrightarrow{CD}=(y_1,...,y_n)$ são ditos iguas se, e somente se, para todo $1\le j \le n$ tem-se $$x_j=y_j.$$ Dizemos que dois vetores são iguais se suas respectivas coordenadas são iguais.
Exemplo: Os vetores $\overrightarrow{AB}=(2,-1,3)$ e $\overrightarrow{CD}=(-1,2,3)$ não são iguais, pois a primeira coordenada do vetor $\overrightarrow{AB}$ é diferente da primeira coordenada do vetor $\overrightarrow{CD}$ e o mesmo acontece para a segunda coordenada.
Exemplo: O vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ determinado pelos pontos $A=(1,2)$, $B=(3,4)$, $C=(3,1)$ e $D=(5,3)$ são iguais, pois $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=(2,2).$$
Observe que cada um dos vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ possuem uma representação geométrica diferente, porém têm as mesmas coordenadas e são, portanto, equivalentes. O que acontece é que a equivalência de vetores no espaço euclidiano $\mathbb R^n$ não depende de sua representação geométrica, mas apenas de suas coordenadas o que dá sentido para definição de vetores iguais.
Exemplo: O vetor $\overrightarrow{AB}$ determinado pelos pontos $A=(-3,-1)$, $B=(-1,1)$, é igual ao vetor $\overrightarrow{OP}$ de origem no ponto $O=(0,0)$ e extremidade no ponto $P=(2,2).$
Já que um vetor é determinado por dois pontos, então uma lista ordenada $v=(x_1,...,x_n)\in\mathbb R^n$ pode ser vista como um vetor de origem no ponto $O=(0,...,0)$ e extremidade no ponto $P=(x_1,...,x_n)$ e assim temos $v=\overrightarrow{OP}.$
Exemplo: O par ordenado $(3,1) \in\mathbb R^2$ é um vetor $v$ de origem no ponto $O=(0,0)$ e extremidade no ponto $P=(3,1).$ O vetor $v$ é um representante de todos os segmentos orientados paralelos a $\overrightarrow{OP}$, de mesmo sentido e mesmo comprimento.
