Translação

A translação é um tipo de mudança de coordenadas que consiste em realizar um movimento rígido em objetos no plano cartesiano que é composto por um deslocamento horizontal e um deslocamento vertical, como se fosse o movimento de uma peça de xadrez.

A figura abaixo mostra a translação de um ponto $P=(x,y)$ para uma nova posição do plano que é o ponto $P_1=(x_1,y_1).$

Observe que o movimento consiste em fazer um deslocamento vertical e um deslocamento horizontal. O ponto $P$ foi deslocado $b$ unidades para baixo e $a$ unidade para esquerda. Assim, temos relação entre as coordenadas $(x,y)$ e as novas coordenadas $(x_1,y_1)$ que é dada por $$x_1=x-a \qquad y_1=y-b.$$

Exemplo: A translação $$x_1=x+1 \qquad y_1=y-2$$ consiste em deslocar um ponto $P=(x,y)$ duas unidade para baixo e uma unidade para direita. Por exemplo, aplicando essa translação no ponto $A=(1,2)$ temos como resultado o ponto $A_1=(2,0).$

Exemplo: Dada a circunferência $$(x-2)^2+(y-3)^2=1$$ podemos aplicar uma translação de tal maneira que o seu centro fique na origem. Lembre que o centro desta circunferência é o ponto $C=(2,3)$. A translação que devemos aplicar é o deslocamento de duas unidades para esquerda e três unidade para baixo.

Assim, temos $$x_1=x-2 \qquad y_1=y-3.$$ A equação da circunferência nas novas coordenadas $x_1,y_1$ é $$x_1^2+y_1^2=1.$$ Com esta mudança de coordenadas a equação da circunferência ficou na forma reduzida.

Exemplo: Considere o quadrado de vértices $A=(-3,-3)$, $B=(-1,-3)$, $C=(-1,-1)$ e $D=(-3,-1).$ Vamos aplicar uma translação de modo que o vértice $A$ fique na origem do plano cartesiano.

A translação que devemos aplicar é $$x_1=x+3 \qquad y_1=y+3,$$ ou seja, deslocar três unidades para direita e três unidades para cima em cada ponto do quadrado.

Após aplicar a esta translação os vértices do quadrado serão $A_1=(0,0)$, $B_1=(2,0)$, $C_1=(2,2)$ e $D_1=(0,2).$

Exemplo: Vamos considerar a parábola $$y=x^2-4x+3$$ e fazer uma translação de modo que o seu vértice fique na origem do plano cartesiano.

Como o vértice é o ponto $V=(2,-1)$ a translação que devemos aplicar é $$x_1=x-2 \qquad y_1=y+1,$$ isto é, iremos deslocar a parábola duas unidades para esquerda e uma unidade para cima.

Isolando $x$ e $y$ na translação temos que $$x=x_1+2 \qquad y=y_1-1$$ e substituindo na equação da parábola temos $$y_1-1=(x_1+2)^2-4(x_1+2)+3$$ $$\Rightarrow y_1-1=x_1^2+4x_1+4-4x_1-8+3$$ $$\Rightarrow y_1=x_1^2.$$

Observe que a equação da parábola após a mudança de coordenadas ficou na forma reduzida.

Considere a translação $$x_1=x+a \qquad y_1=y+b.$$

Se você identificou que esta translação é o movimento de $a$ unidades na horizontal (para direita se $a$ for positivo ou para esquerda se $a$ for negativo) e $b$ unidades na vertical (para cima se $b$ for positivo ou para baixo se $b$ for negativo) então você conseguiu atingir os objetivos desta aula. Parabéns!

Fica a dica!

Caso ainda existem dúvidas faça uma nova leitura desta aula, procure o seu professor ou seus amigos para te ajudar. O importante é superar as dificuldades. Até a próxima aula!

Exercícios

1. Identifique as translações
a) $x_1=x+3 \qquad y_1=y-1$
b) $x_1=x-2 \qquad y_1=y$

2. Encontre um translação de modo que a parábola $$y=x^2-2x+3$$ te na vértice na origem e obtenha sua equação após a mudança de coordenadas.

3. Aplique uma translação na circunferência $$(x-2)^2+(y-5)^2=2$$ de modo que o centro fique na origem e obtenha sua equação após a mudança de coordenadas.

4. Faça uma translação da circunferência $$(x+3)^2+(y+4)^2=1$$ para o primeiro quadrante de tal maneira que fique tangente aos eixo $x$ e $y.$

5. Considere a translação $$x_1=x-a \qquad y_1=x-b.$$ Qual interpretação pode ser dada quando isolamos as coordenadas $x,y$ e obtemos $$x=x_1+a \qquad y=y_1+b?$$

Gabarito

A rotação em $\mathbb R^2$ é uma mudança de coordenadas no espaço euclidiano que consiste em mover um objeto em torno da origem, e este movimento pode ser feito no sentido horário ou anti-horário. Nesta aula você irá aprender como realizar mudança de coordenadas no plano cartesiano por meio de rotação.

Rotação

A primeira coisa que devemos fazer para aplicar uma rotação é escolher um ângulo de rotação e o sentido.

Você pode perceber que após aplicar a rotação em torno da origem de ângulo $\theta$ no ponto $P$, no sentido horário, sua posição mudará para o ponto $P_1=(x_1,y_1).$ Além disso, observe também na figura que utilizando relações trigonométricas temos que $$ x=\cos(\theta+\alpha)\Vert OP \Vert=\cos\theta\cos\alpha\Vert OP\Vert-\sin\theta\sin\alpha\Vert OP\Vert \qquad(1)$$ $$ y=\sin(\theta+\alpha)\Vert OP \Vert=\sin\theta\cos\alpha\Vert OP\Vert+\cos\theta\sin\alpha\Vert OP\Vert. \qquad(2)$$

Por outro lado, temos também que $$x_1=\cos\alpha\Vert OP \Vert$$ $$y_1=\sin\alpha\Vert OP \Vert.$$

Substituindo nas equações (1) e (2) obtemos uma relação entres as coordenadas $x,y$ e as coordenadas $x_1,y_1$ que é dada por $$x=x_1\cos\theta-y_1\sin\theta \quad(3)$$ $$y=x_1\sin\theta+y_1\cos\theta. \quad(4)$$

Você pode aplicar a rotação no sentido anti-horário escolhendo $\theta$ negativo.

Exemplo: Vamos aplicar uma rotação de 30° em torno da origem no ponto $A=(1,4).$ Basta substituir as coordenadas $x,y$ do ponto $A$ nas relações (5) e (6). $$x_1= 1\cos 30°+4\sin 30° $$ $$y_1=-1\sin 30°+4\cos 30° $$

Após a rotação o ponto $A$ ficará na posição $$A_1=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2,-2+2\sqrt{3}\right).$$

Exemplo: Considere o quadrado de vértices $A=(1,1)$, $B=(1,-1)$, $C=(-1,-1)$ e $D=(-1,1).$

Após aplicar um rotação de 45° nos vértices do quadrado teremos $A_1=(\sqrt{2},0)$, $B_1=(0,-\sqrt{2})$, $C_1=(-\sqrt{2},0)$ e $D_1=(0,\sqrt{2}).$

Exemplo: Vamos considerar a equação $$x^2+y^2-2xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0.$$

Vamos fazer uma mudança de coordenadas $x,y$ para as coordenadas $x_1,y_1$ aplicando uma rotação de 45° no sentido anti-horário, isto é, $\theta=-45°.$ Assim, utilizando as relações (5) e (6) temos que $$x= \frac{\sqrt{2}}{2}x_1+\frac{\sqrt{2}}{2}y_1 $$ $$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x_1+\frac{\sqrt{2}}{2}y_1. $$ Substituindo $x,y$ na equação dada obtemos $$y_1=x_1^2.$$

Note que após realizar a mudança de coordenadas, aplicando a rotação, conseguimos identificar que a equação deste exemplo é um parábola.

Uma das vantagens de aplicar rotação em uma equação geral de segundo grau, como no exemplo anterior, é que, além simplificar a equação, é possível identificar que tipo de objeto se trata, ou seja, se é uma parábola, elipse ou hipérbole.

Rotação em torno de um ponto

Nesta seção vamos aprender como fazer a rotação de uma forma mais geral, ou seja, executar a rotação de um ponto $P=(x,y)$ em torno de um ponto $C=(x_0,y_0),$ com ilustrado na figura abaixo.

Observe na figura que ao aplicar a rotação no ponto $P$ sua em torno do ponto $C$ a sua posição mudará para $P_1=(x_1,y_1).$ Note também na figura que $$ x-x_0=\cos(\theta+\alpha)\Vert CP \Vert=\cos\theta\cos\alpha\Vert CP\Vert-\sin\theta\sin\alpha\Vert CP\Vert \qquad(7)$$ $$ y-y_0=\sin(\theta+\alpha)\Vert CP \Vert=\sin\theta\cos\alpha\Vert CP\Vert+\cos\theta\sin\alpha\Vert CP\Vert. \qquad(8)$$

Por outro lado, temos também que $$x_1-x_0=\cos\alpha\Vert CP \Vert$$ $$y_1-y_0=\sin\alpha\Vert CP \Vert.$$

Substituindo nas equações (7) e (8) obtemos uma relação entres as coordenadas $x,y$ e as coordenadas $x_1,y_1$ que é dada por $$x-x_0=(x_1-x_0)\cos\theta-(y_1-y_0)\sin\theta \quad(7)$$ $$y-y_0=(x_1-x_0)\sin\theta+(y_1-y_0)\cos\theta. \quad(8)$$

Exercícios

1. Aplique uma rotação de 30º, no sentido horário, no triângulo de vértices nos pontos $A=(2,3),$ $B=(-1,2)$ e $C=(-1,0)$ e faça uma representação gráfica.

2. Considere a reta $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x.$ Aplique uma rotação de forma que o seu coeficiente angular seja igual à $\sqrt{3}.$