Introdução

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Operações elementares

Dada uma matriz $A$ podemos realizar operações elementares sobre suas linhas.

• Multiplicação de uma linha $i$ por um escalar não nulo $m$, ou seja, $$\ell_i \leftarrow m\ell_i$$;
• Somar ou subtrair uma linha $i$ com um múltiplo de uma linha $j$, onde escrevemos, $$\ell_i\leftarrow \ell_i+m\ell_j$$;
• Permutação entre as linhas $i$ e $j$, ou seja, $$\ell_i\leftrightarrow \ell_j$$

Exemplo: considere a matriz

$$ A=\left(\begin{array}{cccc} -2&1&0&2\\ 0&2&2&1\\ 0&0&2&-2\\ \end{array}\right) $$ Podemos multiplicar a linha 2 da matriz A por 3 e então teremos a matriz $$ A_1=\left(\begin{array}{cccc} -2&1&0&2\\ 0&6&6&3\\ 0&0&2&-2\\ \end{array}\right) $$

Exemplo: Dada a matriz

$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&0&2\\ 3&2&2&1\\ 2&2&1&-1\\ \end{array}\right) $$ ao realizar a operação $$\ell_2 \leftarrow \ell_2-3\ell_1$$ temos $$ A_1=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&0&2\\ 0&-1&2&-5\\ 2&2&1&-1\\ \end{array}\right) $$

Observe que nessa operação apenas a linha 2 foi alterada!

Podemos fazer permutação das linhas 2 e 3 da matriz $A_1$ e então temos a matriz

$$ A_2=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&0&2\\ 2&2&1&-1\\ 0&-1&2&-5\\ \end{array}\right) $$

Dizemos que duas matrizes $A$ e $B$ são linhas equivalentes e a matriz $B$ for obtida por uma sequência se operações elementares sobre as linhas de $A$.

Exemplo: Dada a matriz

$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1& 1 &-1& 0\\ 2&-3 & 0&-4\\ 0& 15& 5& 1\\ \end{array}\right) $$

Vamos realizar uma sequência de operações sobre as linhas da matriz $A$ de modo a obter uma matriz onde todos elementos abaixo da diagonal são nulos, ou seja, vamos anular os elementos $a_{ij}$ onde $i>j.$

Passo 1: Vamos anular o elemento $a_{21}$ e para isso vamos fazer:
$\ell_2 \leftarrow \ell_2-2\ell_1$

$$ A_1=\left(\begin{array}{cccc} 1& 1 &-1& 0\\ 0&-5 &-2&-4\\ 0& 15& 5& 1\\ \end{array}\right) $$

Passo 2: Anular o elemento $a_{32}$ fazendo a operação:
$\ell_3 \leftarrow \ell_3+3\ell_2$

$$ A_2=\left(\begin{array}{cccc} 1& 1 &-1& 0 \\ 0&-5 &-2&-4 \\ 0& 0& -1&-11\\ \end{array}\right) $$

As matrizes $A, A_1$ e $A_2$ são linhas equivalentes.

Matriz triangular

Uma matriz $n\times n$ é dita triangular superior se os elementos $a_{ij}=0$ para $i>j.$ $$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&a_{22}&a_{23}\\ 0&0&a_{33}\\ \end{array}\right) $$

Exemplo: Vamos transformar a matriz a seguir em uma matriz triangular superior:

$$ A=\left(\begin{array}{rrrr} 4 & 1 &-1 & 2 \\ -2 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} &-5\\ -4 & 3 & 8 &-9\\ -6 & \frac{9}{2} & \frac{9}{2} &-12\\ \end{array}\right) $$

Passo 1: Vamos anular todos os elementos da primeira coluna que estão abaixo de $a_{11}.$ Podemos realizar operações sobre as linhas 2, 3 e 4 simultaneamente em vez de fazer uma por uma:

$\ell_2 \leftarrow \ell_2+\dfrac{1}{2}\ell_1$
$\ell_3 \leftarrow \ell_3+\ell_1$
$\ell_4 \leftarrow \ell_4+\dfrac{3}{2}\ell_1$

$$ A_1 =\left(\begin{array}{rrrr} 4 & 1 &-1 & 2\\ 0 & 2 & 1 &-4\\ 0 & 4 & 7 &-7\\ 0 & 6 & 3 &-9\\ \end{array}\right) $$

Passo 2: Anular os elementos da segunda coluna que estão abaixo de $a_{22}$ fazendo a operação:

$\ell_3 \leftarrow \ell_3-2\ell_2$
$\ell_4 \leftarrow \ell_4-3\ell_2$

$$ A_2 =\left(\begin{array}{rrrr} 4 & 1 &-1 & 2\\ 0 & 2 & 1 &-4\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ \end{array}\right) $$ Temos a matriz $A_2$ na forma triangular que é linha equivalente a matriz $A.$

Eliminação de Gauss

Se $A$ e $B$ são matrizes linhas equivalentes então os sistemas lineares associados a cada uma delas são equivalentes e tem a mesma solução. Com isso, para resolver um sistema linear podemos utilizamos a sua matriz associada e então realizamos operações sobre suas linhas de modo a obtermos matrizes