Ementa Números complexos. Derivada complexa e sua propriedades. Funções analíticas. Funções de Moebius. Funções conformes. Integrais. Séries de potências. Resíduos e polos. Transformações conformes. Objetivo Geral Desenvolver as competências relacionadas à manipulação de funções de uma variável complexa com ênfase na compreensão e aplicação das técnicas de cálculo de limites, derivação complexa, integração de funções complexas sobre curvas, séries e resíduos. Conteúdo Programático 1. Números Complexos 1.1. Propriedades algébricas; 1.2. Vetores e módulo; 1.3. Conjugados; 1.4. Forma exponencial; 1.5. Argumentos; 1.6. Raízes; 1.7. Regiões no plano complexo. 2. Funções Analíticas 2.1. Funções e aplicações; 2.2. A aplicação w = z^2; 2.3. Limites; 2.4. Continuidade; 2.5. Derivadas; 2.6. Equação de Cauchy-Riemann; 2.7. Coordenadas polares; 2.8. Funções analíticas e funções harmônicas; 2.9. Unicidade e Princípio da reflexão.
3. Funções Elementares 3.1. Funções exponencial e logaritmo; 3.2. Ramos e derivadas; 3.3. A função pontência; 3.4. As funções trigonométricas; 3.5. Zeros e singularidades; 3.6. Funções hiperbólicas; 3.7. Função inversas.
4. Integrais 4.1. Derivadas de funções w(t); 4.2. Integrais definidas de funções w(t); 4.3. Caminhos; 4.4. Integrais Curvilíneas; 4.5. Antiderivadas; 4.6. Teorema de Cauchy-Goursat; 4.7. Fórmula integral de Cauchy 4.8. Teorema de Liouville e o Teorema Fundamental da Álgebra; 4.9. Princípio do Módulo máximo.
5. Séries 5.1. Convergência de Seqüências e Séries; 5.2. Séries de Taylor; 5.3. Potências negativas de (z-z0); 5.4. Séries de Laurent; 5.5. Convergência absoluta e uniforme; 5.6. Continuidade de séries de potências; 5.7. Integração e Derivação de séries de potências; 5.8. Unicidade de representação em séries; 5.9. Multiplicação e diisão de séries de potências.
6. Resíduos e Polos 6.1. Singularidades isoladas; 6.2. Resíduos; 6.3. Teorema dos resíduos de Cauchy; 6.4. Resíduos no infinito; 6.5. Os três tipos de singularidades isoladas; 6.6. Zeros de funções analíticas; 6.7. Comportamente próximo às singularidades isoladas;
7. Aplicações de Resíduos 7.1. Integrais impróprias; 7.2. Integrais impróprias da Análise de Fourier; 7.3. Lema de Jordan; 7.4. Um caminho indentado; 7.5. Integração ao longo de um corte; 7.6. Integrais definidas envolvendo senos e cossenos; 7.7. Princípio do argumento; 7.8. Teorema de Rouché; 7.9. Transformada de Laplace inversa.
8. Transformações por Funções Elementares 8.1. Transformações lineares; 8.2. A transformação w=1/z; 8.3. Transformações fracionárias lineares; 8.4. Transformações do semiplano superior; 8.5. Transformações da função exponencial; 8.6. Transformações de retas verticais por w = sen z; 8.7. Transformações de z^2; 8.8. Transformações de ramos de z^(1/2); 8.9. Raízes quadradas de polinômios; 8.10. Superfícies de Riemann.
9. Aplicações Conformes 9.1. Preservação de ângulos e escala; 9.2. Inversas locais; 9.3. Harmônicas conjugadas; 9.4. Transformações de funções harmônicas; 9.5. Transformações de condições de fronteira.
Este curso geralmente é ministrado através de aulas teóricas expositivas interativas. Avaliação A avaliação de aprendizagem desta disciplina será feita através de 03 (três) provas escritas, sem consulta em livros ou anotações e a média final será dada pela média aritmética entre as duas provas de maiores notas. Para os alunos que obtiverem média para aprovação com as duas primeiras provas, a realização da 3ª Prova será obrigatória, sendo, portanto, sua média final calculada a partir da maior entre as duas primeiras provas e a 3ª Prova. Bibliografia Básica
Bibliografia Complementar
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