Introdução

Considere quatro cruzamentos A, B, C e D, como mostra a imagem. Cada seta indica o sentido do tráfego em cada rua. No cruzamento A entram 40 carros por hora, no cruzamento B saem 55 carros por hora, no cruzamento C para D passam 30 carros por hora, e de D para B passam 20 carros por hora. Descubra a quantidade de carros que circulam no restante das ruas, considerando que nenhum carro fica parado.

Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~apmat/sistemas-lineares-algumas-aplicacoes/

Em cada cruzamento a quantidade de carros que entram é a mesma que sai e então observe que para cada cruzamento podemos escrever uma equação

• cruzamento A: $40=x_1 +x_2$
• cruzamento B: $x_1+x_3+20=55$
• cruzamento C: $x_2+x_4=x_3 +30$
• cruzamento D: $30=x_5+20$

As equações obtidas na modelagem de nosso problemas nos dá um sistema de equações lineares, no qual escrevemos $$\begin{cases} x_1+x_2=40\\ x_1+x_3=35\\ x_2-x_3+x_4=30\\ x_5=10 \end{cases}$$

Observe que na última equação já conseguimos obter o valor de $x_5.$ Para resolver esse problema temos, então, que encontrar os valores de $x_1, x_2, x_3$ e $ x_4$, pois já conhecemos $x_5.$ Dizemos que $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ é uma solução do sistema se for solução, simultaneamente, de todas as equações que compoem o sistema.

Uma pergunta que podemos fazer é "esses valores existem?" A existência de soluções para um sistema linear é um problema a ser discutido e, além disso, outra discussão importante é quanto à quantidade de soluções. Afinal, "quantas soluções podemos obter para o sistema linear?"

Sistemas lineares

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, que é escrito na forma $$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1m}x_m=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2m}x_m=b_2\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nm}x_m=b_n\\ \end{cases} $$

Observe que temos nesse sistema $n$ equações e $m$ incógnitas. Os elementos $a_{ij}$ e $b_j$ são números fixos e os elementos $x_i$ são as incógnitas. Uma solução para o sistema linear é um vetor $$x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)$$ no qual deve ser solução para todas as equações que compoem o sistema simultaneamente.

Sistema linear homogêneo

Quando os elementos $b_j$ são todos iguais a zero, dizemos que o sistema linear é homogêneo. Assim, temos $$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1m}x_m=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2m}x_m=0\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nm}x_m=0\\ \end{cases} $$

Matriz de um sistema linear

Um sistema linear pode ser associado a uma única matriz. Os métodos computacionais utilizados para obter solução de um sistema linear fazem o uso de sua matriz e por isso é importante compreender essa associação e ter habilidade em fazer operações com matrizes. O sistema linear $$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1m}x_m=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2m}x_m=b_2\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nm}x_m=b_n\\ \end{cases} $$ pode ser escrito na forma matricial $$Ax=b$$ da seguinte forma $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{1m}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right) $$ onde $A=(a_{ij})$ é a matriz $n\times m$ dos coeficientes $x=(x_i)$ é a matriz coluna das incógnitas e $b=(b_j)$ é a matriz coluna dos termos literais de cada equação.

Matriz ampliada

Para obter a matriz ampliada de um sistema linear adicionamos na última coluna da matriz dos coeficientes $A$ a matriz $b$ como mostra a seguir: $$ A|b=\left( \begin{array}{cccc|c} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots& \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{1m}&b_n\\ \end{array} \right) $$

Exemplo: A matriz ampliada do sistema linear $$ \begin{cases} x_1-3x_2-x_3&=-6\\ x_1+x_2+2x_3&=5\\ x_1+x_3&=2 \end{cases} $$ é $$ A|b=\left( \begin{array}{cccc} 1&-3&-1&-6\\ 1&1&2&5\\ 1&0&1&2 \end{array} \right) $$

Veremos a seguir exemplos de sistemas lineares com solução única, infinitas soluções e até mesmo sistemas lineares que não possuem soluções.